【題目】如圖,馬路南邊有一小池塘,池塘岸長(zhǎng)40米,池塘的最遠(yuǎn)端的距離為400米,且池塘的邊界為拋物線型,現(xiàn)要在池塘的周邊建一個(gè)等腰梯形的環(huán)池塘小路,且均與小池塘岸線相切,記.

1)求小路的總長(zhǎng),用表示;

2)若在小路與小池塘之間(圖中陰影區(qū)域)鋪上草坪,求所需鋪草坪面積最小時(shí),的值.

【答案】(1)(2)當(dāng)時(shí),所需鋪草坪面積最小

【解析】

1)建立合適的平面直角坐標(biāo)系,求出小池塘的邊界拋物線方程,然后設(shè)出直線的方程,和拋物線聯(lián)立,可求出切點(diǎn)坐標(biāo), 同時(shí)可求出的坐標(biāo),表示出,變形即可得結(jié)果;

2)要所需鋪草坪面積最小,需要梯形面積最小,利用(1)的結(jié)果表示出梯形面積,利用基本不等式求出最值.

解:(1)以為原點(diǎn),所在直線為軸,過點(diǎn)作垂直于軸的直線為軸,建立直角坐標(biāo)系,所以,

因?yàn)樾〕靥恋倪吔鐬閽佄锞型,設(shè)邊界所在的拋物線方程為,

因?yàn)?/span>是曲線上一點(diǎn),

所以,即拋物線方程為.

設(shè)所在的直線方程:,

聯(lián)立,即

因?yàn)?/span>與拋物線相切,

所以.

記直線與拋物線切于點(diǎn)

所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,即.

易得點(diǎn),點(diǎn),由對(duì)稱性可知,點(diǎn).

所以小路總長(zhǎng)為,

由①及可知

;

2)記草坪面積為,梯形面積為,小池塘面積為,

所以,因?yàn)樾〕靥撩娣e為定值,要使得草坪面積最小,則梯形面積最小

,

由①知,當(dāng)且僅當(dāng)“”取得“=”

所以當(dāng)時(shí),梯形面積最小,即草坪面積最。

練習(xí)冊(cè)系列答案
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B.研究?jī)蓚(gè)變量相關(guān)關(guān)系時(shí),相關(guān)指數(shù)R2越大,說(shuō)明回歸方程擬合效果越好.

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2)已知p:函數(shù)fx)=lnx2ax+3)的定義城為R,已知q:已知,指數(shù)函數(shù)gx)=(a1x在實(shí)數(shù)域內(nèi)為減函數(shù);若¬pq為假命題,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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1)證明:直線與圓相交;

2)記直線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)為,.

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(1)已知是一組“共軛線對(duì)”,求的夾角的最小值;

(2)已知點(diǎn)A(0,1)、點(diǎn)和點(diǎn)C(1,0)分別是三條直線PQ,QR,RP上的點(diǎn)(A,B,CP,Q,R均不重合),且直線PR,PQ是“ 共軛線對(duì)”,直線QP,QR是“共軛線對(duì)”,直線RP,RQ是“共軛線對(duì)”,求點(diǎn)P的坐標(biāo);

(3)已知點(diǎn) ,直線是“共軛線對(duì)”,當(dāng)的斜率變化時(shí),求原點(diǎn)O到直線的距離之積的取值范圍.

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