Question

用數(shù)學(xué)歸納法證明：3?2^-1+4?2^-2+5?2^-3+…+（n+2）?2^-n=4-

n+4

2n

．（n∈N*）

Answer 1

分析：當(dāng)n=1時(shí)，將n=1分別代入左端與右端，觀察兩端是否相等；假設(shè)n=k時(shí)等式成立，證明n=k+1時(shí)等式也成立即可（需用上歸納假設(shè)）．

解答：證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，左端=

3

2

，右端=4-

1+4

21

=

3

2

，左端=右端，等式成立；
（2）假設(shè)n=k時(shí)等式成立，即3?2^-1+4?2^-2+5?2^-3+…+（k+2）?2^-k=4-

k+4

2k

，
那么，n=k+1時(shí)，
3?2^-1+4?2^-2+5?2^-3+…+（k+2）?2^-k+[（k+1）+2]•2^-（k+1）=4-

k+4

2k

+[（k+1）+2]•2^-（k+1）=4-

2k+8

2k+1

+

k+3

2k+1

=4-

k+5

2k+1

=4-

(k+1)+4

2k+1

，
即n=k+1時(shí)，等式也成立；
綜合（1）（2）可知，對任意n∈N*，等式成立．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)學(xué)歸納法，關(guān)鍵是由n=k時(shí)等式成立去證明“n=k+1時(shí)，等式也成立”時(shí)需用好歸納假設(shè)，屬于中檔題．