已知函數(shù)f(x)=
x+3
x+1
(x≠-1).設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=f(an),數(shù)列{bn}滿足bn=|an-
3
|,Sn=b1+b2+…+bn(n∈N*).
(Ⅰ)用數(shù)學(xué)歸納法證明bn
(
3
-1)
n
2n-1
;
(Ⅱ)證明Sn
2
3
3
證明:(Ⅰ)當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=1+
2
x+1
≥1.
因?yàn)閍1=1,所以an≥1(n∈N*).
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式bn
(
3
-1)
n
2n-1

(1)當(dāng)n=1時(shí),b1=
3
-1,不等式成立,
(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),不等式成立,即bk
(
3
-1)
k
2k-1

那么bk+1=|ak+1-
3
|=
(
3
-1)|ak-
3
|
1+ak

3
-1
2
bk
(
3
-1)
k+1
2k

所以,當(dāng)n=k+1時(shí),不等式也成立.
根據(jù)(1)和(2),可知不等式對(duì)任意n∈N*都成立.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,bn
(
3
-1)
n
2n-1

所以Sn=b1+b2+…+bn≤(
3
-1)+
(
3
-1)
2
2
+…+
(
3
-1)
n
2n-1
=(
3
-1)•
1-(
3
-1
2
)
n
1-
3
-1
2
<(
3
-1)•
1
1-
3
-1
2
=
2
3
3

故對(duì)任意n∈N*,Sn
2
3
3
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,|φ|<
π
2
)的部分圖象如圖所示,則f(x)的解析式是( 。
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•深圳一模)已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設(shè)曲線y=f(x)在與x軸交點(diǎn)處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設(shè)g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設(shè)h(x)=lnf′(x),若對(duì)一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2011•上海模擬)已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當(dāng)a=1,b=2時(shí),求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對(duì)任意0<a<b恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時(shí),記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時(shí),記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:上海模擬 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當(dāng)a=1,b=2時(shí),求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對(duì)任意0<a<b恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時(shí),記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時(shí),記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:深圳一模 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設(shè)曲線y=f(x)在與x軸交點(diǎn)處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設(shè)g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設(shè)h(x)=lnf′(x),若對(duì)一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

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