【題目】如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面平面,,，，為中點(diǎn)．

（Ⅰ）求證：∥平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

（Ⅲ）在棱上是否存在點(diǎn)，使得？若存在，求的值；若不存在，說明理由．

【答案】（I）見解析； （II）； （Ⅲ）答案見解析 .

【解析】

(Ⅰ)由題意結(jié)合三角形中位線的性質(zhì)和線面平行的判定定理即可證得題中的結(jié)論；

(Ⅱ)由題意建立空間直角坐標(biāo)系，求得半平面的法向量，然后結(jié)合法向量可得二面角的余弦值；

(Ⅲ)假設(shè)存在滿足題意的點(diǎn)，由題意結(jié)合點(diǎn)的坐標(biāo)和向量垂直的充分必要條件得到關(guān)于的方程，解方程即可確定的值.

（I）設(shè)交于點(diǎn)，連結(jié).

因?yàn)榈酌?/span>是矩形,所以為中點(diǎn) .

又因?yàn)?/span>為中點(diǎn) , 所以∥.

因?yàn)?/span>平面平面,所以∥平面.

（II）取的中點(diǎn)，連結(jié)，.

因?yàn)榈酌?/span>為矩形,所以.

因?yàn)?/span>，,

所以∥，所以.

又因?yàn)槠矫?/span>PCD⊥平面ABCD,平面平面PCD∩平面ABCD=CD.

所以PO⊥平面ABCD，

如圖，建立空間直角坐標(biāo)系,則，

設(shè)平面的法向量為，

所以

令，則，所以.

平面的法向量為，則.

如圖可知二面角為鈍角，所以二面角的余弦值為.

（Ⅲ）在棱上存在點(diǎn), 使.

設(shè),則.　

因?yàn)?/span>,所以.

.

因?yàn)?/span>,所以.

所以，解得.

所以在棱上存在點(diǎn),使，且.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1（側(cè)棱垂直于底面的棱柱）中，CA⊥CB，CA＝CB＝CC1＝2，動(dòng)點(diǎn)D在線段AB上．

（1）求證：當(dāng)點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)時(shí)，平面B1CD⊥上平面ABB1A1；

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【題目】將紅、黑、藍(lán)、白5張紙牌（其中白紙牌有2張）隨機(jī)分發(fā)給甲、乙、丙、丁4個(gè)人，每人至少分得1張，則下列兩個(gè)事件為互斥事件的是（ ）

A. 事件“甲分得1張白牌”與事件“乙分得1張紅牌”

B. 事件“甲分得1張紅牌”與事件“乙分得1張藍(lán)牌”

C. 事件“甲分得1張白牌”與事件“乙分得2張白牌”

D. 事件“甲分得2張白牌”與事件“乙分得1張黑牌”

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【題目】某地區(qū)實(shí)施“光盤行動(dòng)”以后,某自助啤酒吧也制定了自己的行動(dòng)計(jì)劃,進(jìn)店的每一位客人需預(yù)交元,啤酒根據(jù)需要自己用量杯量取,結(jié)賬時(shí),根據(jù)每桌剩余酒量,按一定倍率收費(fèi)(如下表),每桌剩余酒量不足升的,按升計(jì)算(如剩余升,記為剩余升).例如:結(jié)賬時(shí),某桌剩余酒量恰好為升,則該桌的每位客人還應(yīng)付元.統(tǒng)計(jì)表明飲酒量與人數(shù)有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系,下面是隨機(jī)采集的組數(shù)據(jù)(其中表示飲酒人數(shù),(升)表示飲酒量):,,,,.

剩余酒量(單位:升)

升以上(含升)

結(jié)賬時(shí)的倍率

（1）求由這組數(shù)據(jù)得到的關(guān)于的回歸直線方程;

（2）小王約了位朋友坐在一桌飲酒,小王及朋友用量杯共量取了升啤酒,這時(shí),酒吧服務(wù)生對小王說,根據(jù)他的經(jīng)驗(yàn),小王和朋友量取的啤酒可能喝不完,可以考慮再邀請位或位朋友一起來飲酒,會(huì)更劃算.試向小王是否該接受服務(wù)生的建議？

參考數(shù)據(jù):回歸直線的方程是,其中,.

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（1）證明：平面；

（2）證明：平面平面；

（3）若，求實(shí)數(shù)的值，使得直線與平面所成角為．

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【題目】若函數(shù)為常數(shù)，）的圖象關(guān)于直線對稱，則函數(shù)的圖象（　　）

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A. 充分而不必要條件B. 必要而不充分條件

C. 充分必要條件D. 既不充分也不必要條件

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