【題目】已知橢圓過點,且離心率為.
(1)求橢圓的方程;
(2)過作斜率分別為的兩條直線,分別交橢圓于點,且,證明:直線過定點.
【答案】(1)(2)見解析
【解析】
(1)利用橢圓過點,以及離心率為,求出,即可得到橢圓方程.
(2)設(shè)直線方程為,則,求得,當(dāng)直線斜率存在時,設(shè)直線方程為:,與橢圓方程聯(lián)立方程組,利用韋達(dá)定理以及,得到與的關(guān)系,代入直線的方程,即可求解.
(1)由題意,橢圓過點,即,解得,
由離心率為,又由,解得,所求橢圓方程為:.
(2)當(dāng)直線斜率不存在時,設(shè)直線方程為,則,
則,所以,解得,
當(dāng)直線斜率存在時,設(shè)直線方程為,
聯(lián)立方程組,得,
設(shè),則 (*),
則,
將*式代入化簡可得:,即,整理得,
代入直線方程,得,
即,聯(lián)立方程組,解得,
恒過定點.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】隨著社會的發(fā)展,終身學(xué)習(xí)成為必要,工人知識要更新,學(xué)習(xí)培訓(xùn)必不可少,現(xiàn)某工廠有工人1000名,其中250名工人參加短期培訓(xùn)(稱為類工人),另外750名工人參加過長期培訓(xùn)(稱為類工人),從該工廠的工人中共抽查了100名工人,調(diào)查他們的生產(chǎn)能力(此處生產(chǎn)能力指一天加工的零件數(shù))得到類工人生產(chǎn)能力的莖葉圖(左圖),類工人生產(chǎn)能力的頻率分布直方圖(右圖).
(1)問類、類工人各抽查了多少工人,并求出直方圖中的;
(2)求類工人生產(chǎn)能力的中位數(shù),并估計類工人生產(chǎn)能力的平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表);
(3)若規(guī)定生產(chǎn)能力在內(nèi)為能力優(yōu)秀,由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)在答題卡上完成下面的列聯(lián)表,并判斷是否可以在犯錯誤概率不超過0.1%的前提下,認(rèn)為生產(chǎn)能力與培訓(xùn)時間長短有關(guān).能力與培訓(xùn)時間列聯(lián)表
短期培訓(xùn) | 長期培訓(xùn) | 合計 | |
能力優(yōu)秀 | |||
能力不優(yōu)秀 | |||
合計 |
參考數(shù)據(jù):
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
參考公式:,其中.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若在定義域上不單調(diào),求的取值范圍;
(2)設(shè),,分別是的極大值和極小值,且,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】從甲、乙兩種棉花中各抽測了25根棉花的纖維長度(單位: ) 組成一個樣本,且將纖維長度超過315的棉花定為一級棉花.設(shè)計了如下莖葉圖:
(1)根據(jù)以上莖葉圖,對甲、乙兩種棉花的纖維長度作比較,寫出兩個統(tǒng)計結(jié)論(不必計算);
(2)從樣本中隨機抽取甲、乙兩種棉花各2根,求其中恰有3根一級棉花的概率;
(3)用樣本估計總體,將樣本頻率視為概率,現(xiàn)從甲、乙兩種棉花中各隨機抽取1根,求其中一級棉花根數(shù)X的分布列及數(shù)學(xué)期望
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在棱長為a的正方體ABCD﹣A1B1C1D1,E,F(xiàn),P,Q分別是BC,C1D1,AD1,BD的中點,求證:
(1)PQ∥平面DCC1D1
(2)EF∥平面BB1D1D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】己知函數(shù).
(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若函數(shù)的最小值為-1,,數(shù)列滿足,,記,表示不超過的最大整數(shù).證明:.
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