【題目】已知點F是拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點,M(x0,1)C,|MF|=.

(1)p的值;

(2)若直線l經(jīng)過點Q(3,-1)且與C交于A,B(異于M)兩點,證明:直線AM與直線BM的斜率之積為常數(shù).

【答案】(1);(2)

【解析】

(1)拋物線定義知|,則 ,求得x0=2p,代入拋物線方程, ;
(2)由(1)得M(1,1),拋物線C:y2=2x,

當(dāng)直線l經(jīng)過點Q(3,-1)且垂直于x軸時,直線AM的斜率 ,直線BM的斜率

當(dāng)直線l不垂直于x軸時,直線l的方程為y+1=k(x-3),代入拋物線方程,由韋達(dá)定理及斜率公式求得 ,即可證明直線AM與直線BM的斜率之積為常數(shù)

(1)由拋物線定義知|MF|=x0+,則x0+=x0,解得x0=2p,

又點M(x0,1)在C上,所以2px0=1,解得x0=1,p=.

(2)由(1)得M(1,1),C:y2=x.

當(dāng)直線l經(jīng)過點Q(3,-1)且垂直于x軸時,不妨設(shè)A(3,),B(3,-),

則直線AM的斜率kAM=,直線BM的斜率kBM=,所以kAM·kBM=-×=-.

當(dāng)直線l不垂直于x軸時,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),

則直線AM的斜率kAM===,同理直線BM的斜率kBM=,∴kAM·kBM=·=.

設(shè)直線l的斜率為k(顯然k≠0且k≠-1),則直線l的方程為y+1=k(x-3).

聯(lián)立消去x,得ky2-y-3k-1=0,

所以y1+y2=,y1y2=-=-3-,故kAM·kBM===-.

綜上,直線AM與直線BM的斜率之積為-.

練習(xí)冊系列答案
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