【題目】已知函數(shù)f(x)=x﹣1+ (a∈R).
(1)若曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線平行于x軸,求a的值;
(2)求函數(shù)f(x)的極值;
(3)當(dāng)a=1時(shí),若直線l:y=kx﹣1與曲線y=f(x)沒有公共點(diǎn),求k的最大值.

【答案】
(1)解:由 ,得f′(x)=1﹣ ,

∴f′(1)=1﹣ ,

由曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線平行于x軸,得 ,即a=e


(2)解:由f′(x)=1﹣ ,知

若a≤0,則f′(x)>0,函數(shù)f(x)在實(shí)數(shù)集內(nèi)為增函數(shù),無極值;

若a>0,由f′(x)=1﹣ =0,得x=lna,

當(dāng)x∈(﹣∞,lna)時(shí),f′(x)<0,當(dāng)x∈(lna,+∞)時(shí),f′(x)>0.

∴f(x)在(﹣∞,lna)上單調(diào)遞減,在(lna,+∞)上單調(diào)遞增


(3)解:當(dāng)a=1時(shí),f(x)=x﹣1+ ,令g(x)=f(x)﹣(kx﹣1)=(1﹣k)x+ ,

則直線l:y=kx﹣1與曲線y=f(x)沒有公共點(diǎn),

等價(jià)于方程g(x)=0在R上沒有實(shí)數(shù)解.

假設(shè)k>1,此時(shí)g(0)=1>0,g( )=﹣1+ <0,

又函數(shù)g(x)的圖象連續(xù)不斷,由零點(diǎn)存在定理可知g(x)=0在R上至少有一解,

與“方程g(x)=0在R上沒有實(shí)數(shù)解”矛盾,故k≤1.

又k=1時(shí),g(x)= >0,知方程g(x)=0在R上沒有實(shí)數(shù)解.

∴k的最大值為1


【解析】(1)求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),依題意f′(1)=0,從而可求得a的值;(2)f′(x)=1﹣ ,分①a≤0時(shí)②a>0討論,可知f(x)在∈(﹣∞,lna)上單調(diào)遞減,在(lna,+∞)上單調(diào)遞增,從而可求其極值;(3)令g(x)=f(x)﹣(kx﹣1)=(1﹣k)x+ ,則直線l:y=kx﹣1與曲線y=f(x)沒有公共點(diǎn),等價(jià)于方程g(x)=0在R上沒有實(shí)數(shù)解,分k>1與k≤1討論即可得答案.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識點(diǎn),需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個(gè)區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減才能正確解答此題.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)

(Ⅰ)若的極小值為,求的值;

(Ⅱ)若對任意,都有恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某校為了探索一種新的教學(xué)模式,進(jìn)行了一項(xiàng)課題實(shí)驗(yàn),甲班為實(shí)驗(yàn)班,乙班為對比班,甲乙兩班的人數(shù)均為50人,一年后對兩班進(jìn)行測試,測試成績的分組區(qū)間為80,90、90,100、100,110、110,120、120,130,由此得到兩個(gè)班測試成績的頻率分布直方圖:

(1)完成下面2×2列聯(lián)表,你能有97.5的把握認(rèn)為“這兩個(gè)班在這次測試中成績的差異與實(shí)施課題實(shí)驗(yàn)有關(guān)”嗎?并說明理由;

成績小于100分

成績不小于100分

合計(jì)

甲班

50

乙班

50

合計(jì)

100

(2)根據(jù)所給數(shù)據(jù)可估計(jì)在這次測試中,甲班的平均分是105.8,請你估計(jì)乙班的平均分,并計(jì)算兩班平均分相差幾分?

附:

,其中

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5. 024

6.635

7.879

10.828

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)).

(1)若,函數(shù)的最大值為,最小值為,求的值;

(2)當(dāng)時(shí),函數(shù)的最大值為,求的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】(本小題滿分13分)為了解某校今年高一年級女生的身體素質(zhì)狀況,從該校高一年級女生中抽取了一部分學(xué)生進(jìn)行“擲鉛球”的項(xiàng)目測試,成績低于5米為不合格,成績在5至7米(含5米不含7米)的為及格,成績在7米11米(含7米11米,假定該校高一女生擲鉛球均不超過11米)為優(yōu)秀把獲得的所有數(shù)據(jù),分成五組,畫出頻率分布直方圖如圖所示已知有4名學(xué)生的成績在9米11米之間

(1)求實(shí)數(shù)的值及參加“擲球”項(xiàng)目測試的人數(shù);

(2)若從此次測試成績最好和最差的兩組中隨機(jī)抽取2名學(xué)生再進(jìn)行其它項(xiàng)目的測試,求所抽取的2名學(xué)生自不同組的概率.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在冬季,由于受到低溫和霜凍的影響,蔬菜的價(jià)格會隨著需求量的增加而提升.已知某供應(yīng)商向飯店定期供應(yīng)某種蔬菜,其價(jià)格會隨著日需求量的增加而上升,具體情形統(tǒng)計(jì)如下表所示:

(1)根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)進(jìn)行判斷,哪一個(gè)更適合作為日供應(yīng)量與單價(jià)之間的回歸方程;(給出判斷即可,不必說明理由);

(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果以及參考數(shù)據(jù),建立關(guān)于的回歸方程;

(3)該地區(qū)有個(gè)酒店,其中個(gè)酒店每日對蔬菜的需求量在以下,個(gè)酒店對蔬菜的需求量在以上,從這個(gè)酒店中任取個(gè)進(jìn)行調(diào)查,求恰有個(gè)酒店對蔬菜需求量在以上的概率.

參考公式及數(shù)據(jù):

對于一組數(shù)據(jù)...,其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為,

其中:,

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)上是減函數(shù),在上是增函數(shù)若函數(shù),利用上述性質(zhì),

當(dāng)時(shí),求的單調(diào)遞增區(qū)間只需判定單調(diào)區(qū)間,不需要證明;

設(shè)在區(qū)間上最大值為,求的解析式;

若方程恰有四解,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】為加快新能源汽車產(chǎn)業(yè)發(fā)展,推進(jìn)節(jié)能減排,國家對消費(fèi)者購買新能源汽車給予補(bǔ)貼,其中對純電動乘用車補(bǔ)貼標(biāo)準(zhǔn)如下表:

新能源汽車補(bǔ)貼標(biāo)準(zhǔn)

車輛類型

續(xù)駛里程R(公里)

80≤R<150

150≤R<250

R≥250

純電動乘用車

3.5萬元/輛

5萬元/輛

6萬元/輛

某校研究性學(xué)習(xí)小組,從汽車市場上隨機(jī)選取了M輛純電動乘用車,根據(jù)其續(xù)駛里程R(單次充電后能行駛的最大里程)作出了頻率與頻數(shù)的統(tǒng)計(jì)表:

分組

頻數(shù)

頻率

80≤R<150

2

0.2

150≤R<250

5

x

R≥250

y

z

合計(jì)

M

1

(Ⅰ)求x,y,z,M的值;
(Ⅱ)若從這M輛純電動乘用車中任選2輛,求選到的2輛車?yán)m(xù)駛里程都不低于150公里的概率;
(Ⅲ)若以頻率作為概率,設(shè)X為購買一輛純電動乘用車獲得的補(bǔ)貼,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望EX.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)+1(A>0,ω>0,|φ|< ),圖象上有一個(gè)最低點(diǎn)是P(﹣ ,﹣1),對于f(x1)=1,f(x2)=3,|x1﹣x2|的最小值為 . (Ⅰ)若f(α+ )= ,且α為第三象限的角,求sinα+cosα的值;
(Ⅱ)討論y=f(x)+m在區(qū)間[0, ]上零點(diǎn)的情況.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案