Question

【題目】已知函數(shù)f（x）= ，關(guān)于x的方程f2（x）﹣2af（x）+a﹣1=0（a∈R）有四個相異的實數(shù)根，則a的取值范圍是（ ）
A.（﹣1， ）
B.（1，+∞）
C.（ ，2）
D.（ ，+∞）

Answer 1

【答案】D
【解析】解：當x＞0時，f（x）= ，函數(shù)的導數(shù)f′（x）= = ， 當x＞1時，f′（x）＞0，當0＜x＜1時，f′（x）＜0，則當x=1時 函數(shù)取得極小值f（1）=e，
當x＜0時，f（x）=﹣ ，函數(shù)的導數(shù)f′（x）=﹣ =﹣ ，此時f′（x）＞0恒成立，
此時函數(shù)為增函數(shù)，
作出函數(shù)f（x）的圖象如圖：
設t=f（x），則t＞e時，t=f（x）有3個根，
當t=e時，t=f（x）有2個根
當0＜t＜e時，t=f（x）有1個根，
當t≤0時，t=f（x）有0個根，
則f2（x）﹣2af（x）+a﹣1=0（m∈R）有四個相異的實數(shù)根，
等價為t2﹣2at+a﹣1=0（m∈R）有2個相異的實數(shù)根，
其中0＜t＜e，t＞e，
設h（t）=t2﹣2at+a﹣1，
則 ，即 ，即 ，
即a＞ ，
即實數(shù)a的取值范圍是（ ，+∞），
故選：D