【題目】已知長(zhǎng)度為的線段的兩個(gè)端點(diǎn)分別在軸和軸上運(yùn)動(dòng),動(dòng)點(diǎn)滿足,設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線.
(1)求曲線的方程;
(2)過(guò)點(diǎn),且斜率不為零的直線與曲線交于兩點(diǎn),在軸上是否存在定點(diǎn),使得直線與的斜率之積為常數(shù)?若存在,求出定點(diǎn)的坐標(biāo)以及此常數(shù);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)(2)存在兩個(gè)定點(diǎn),,使得直線與的斜率之積為常數(shù),當(dāng)定點(diǎn)為時(shí),常數(shù)為,當(dāng)定點(diǎn)為時(shí),常數(shù)為
【解析】
(1)設(shè),,,利用向量關(guān)系坐標(biāo)化,可得曲線的方程;
(2)由題意設(shè)直線的方程為,,,假設(shè)存在定點(diǎn),使得直線與的斜率之積為常數(shù),將表示成關(guān)于的函數(shù),利用恒成立問(wèn)題,可得定點(diǎn)坐標(biāo).
(1)設(shè),,,
由于,所以,
即,所以.又因?yàn)?/span>,所以,
從而,即曲線的方程為.
(2)由題意設(shè)直線的方程為,,,
由得,所以,
故,.
假設(shè)存在定點(diǎn),使得直線與的斜率之積為常數(shù),則
.
當(dāng),且時(shí),為常數(shù),解得.
顯然當(dāng)時(shí),常數(shù)為;當(dāng)時(shí),常數(shù)為.
所以存在兩個(gè)定點(diǎn),,使得直線與的斜率之積為常數(shù),當(dāng)定點(diǎn)為時(shí),常數(shù)為,當(dāng)定點(diǎn)為時(shí),常數(shù)為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】分形幾何學(xué)是數(shù)學(xué)家伯努瓦·曼得爾布羅在20世紀(jì)70年代創(chuàng)立的一門新的數(shù)學(xué)學(xué)科,它的創(chuàng)立為解決傳統(tǒng)科學(xué)眾多領(lǐng)域的難題提供了全新的思路.按照如圖甲所示的分形規(guī)律可得如圖乙所示的一個(gè)樹形圖:記圖乙中第行黑圈的個(gè)數(shù)為,則(1)_______;(2)______.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在如圖所示的幾何體中,是等邊三角形,四邊形是等腰梯形,,,平面平面.
(1)求證:平面;
(2)求二面角的余弦值.
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【題目】中國(guó)古代數(shù)學(xué)經(jīng)典《數(shù)書九章》中,將底面為矩形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱為“陽(yáng)馬”,將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為“鱉臑”.在如圖所示的陽(yáng)馬中,底面ABCD是矩形.平面,,,以的中點(diǎn)O為球心,AC為直徑的球面交PD于M(異于點(diǎn)D),交PC于N(異于點(diǎn)C).
(1)證明:平面,并判斷四面體MCDA是否是鱉臑,若是,寫出它每個(gè)面的直角(只需寫出結(jié)論);若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(2)求直線與平面所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某市對(duì)所有高校學(xué)生進(jìn)行普通話水平測(cè)試,發(fā)現(xiàn)成績(jī)服從正態(tài)分布N(μ,σ2),下表用莖葉圖列舉出來(lái)抽樣出的10名學(xué)生的成績(jī).
(1)計(jì)算這10名學(xué)生的成績(jī)的均值和方差;
(2)給出正態(tài)分布的數(shù)據(jù):P(μ﹣σ<X<μ+σ)=0.6826,P(μ﹣2σ<X<μ+2σ)=0.9544.
由(1)估計(jì)從全市隨機(jī)抽取一名學(xué)生的成績(jī)?cè)冢?/span>76,97)的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),.
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)當(dāng)時(shí),函數(shù)在區(qū)間的最小值為,試比較與的大小.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】楊輝三角,是二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列.中國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中出現(xiàn)了楊輝三角.在歐洲,帕斯卡在1654年也發(fā)現(xiàn)了這一規(guī)律,所以這個(gè)表又叫做帕斯卡三角形.楊輝三角是中國(guó)古代數(shù)學(xué)的杰出研究成果之一,它把二項(xiàng)式系數(shù)圖形化,把組合數(shù)內(nèi)在的一些代數(shù)性質(zhì)直觀地從圖形中體現(xiàn)出來(lái),是一種離散型的數(shù)與形的結(jié)合.
第0行 | 1 |
第1行 | 1 1 |
第2行 | 1 2 1 |
第3行 | 1 3 3 1 |
第4行 | 1 4 6 4 1 |
第5行 | 1 5 10 10 5 1 |
第6行 | 1 6 15 20 15 6 1 |
(1)記楊輝三角的前n行所有數(shù)之和為,求的通項(xiàng)公式;
(2)在楊輝三角中是否存在某一行,且該行中三個(gè)相鄰的數(shù)之比為?若存在,試求出是第幾行;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)已知n,r為正整數(shù),且.求證:任何四個(gè)相鄰的組合數(shù),,,不能構(gòu)成等差數(shù)列.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù),且當(dāng)時(shí),().
(1)當(dāng)時(shí),求的表達(dá)式:
(2)求在區(qū)間的最大值的表達(dá)式;
(3)當(dāng)時(shí),若關(guān)于x的方程(a,)恰有10個(gè)不同實(shí)數(shù)解,求a的取值范圍.
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