Question

（2010•廣東模擬）已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d（a，b，c，d∈R，且a≠0），且函數(shù)f（x）圖象關于原點中心對稱，其圖象在x=3處的切線方程為8x-y-18=0，
且g(x)=f/(x)+f/(

3

)．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若f(x)＞

3

2

x2-3x+a2+a在[0，2]上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）若數(shù)列{a_n}滿足a_n+1=g（a_n），a₁=2，（n∈N^*），
試證明：

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜

7

8

Answer 1

分析：（1）因為函數(shù)f（x）關于原點對稱，所以f（x）=ax³+cx，f′（x）=3ax²+c，函數(shù)f（x）在x=3處的切線方程為8x-y-18=0，所以f（3）=27a+3c=6，由此導出f(x)=

1

3

x3-x．
（2）

1

3

x3-

3

2

x2+2x＞a2+a在[0，2]上恒成立，令h(x)=

1

3

x3-

3

2

x2+2x，則h′（x）=x²-3x+2，令h′（x）=x²-3x+2=0，則x₁=1，x₂=2，再由函數(shù)的單調(diào)性導出函數(shù)h（x）在[0，2]的最小值為0，所以有0＞a²+a，即-1＜a＜0．
（3）g(x)=f/(x)+f/(

3

)=x2+1＞0，由a_n+1=g（a_n），a₁=2，所以an＞22n-1，則有

1

an

＜

1

22n-1

，從而證明

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜

7

8

．

解答：解：（1）因為函數(shù)f（x）關于原點對稱，所以b=d=0，所以f（x）=ax³+cx，
又有f′（x）=3ax²+c，又函數(shù)f（x）在x=3處的切線方程為8x-y-18=0，
所以f′（3）=3a×9+c=8，f（3）=27a+3c=6，
所以a=

1

3

，c=-1即f(x)=

1

3

x3-x．

（2）f(x)＞

3

2

x2-3x+a2+a在[0，2]上恒成立，即f(x)-

3

2

x2+3x＞a2+a，
即證

1

3

x3-

3

2

x2+2x＞a2+a在[0，2]上恒成立，
令h(x)=

1

3

x3-

3

2

x2+2x，則h′（x）=x²-3x+2，令h′（x）=x²-3x+2=0，
則x₁=1，x₂=2
則有當x＜1時，f′（x）＞0，所以f（x）在（-∞，1）遞增；
當1＜x＜3時，f′（x）＜0，所以f（x）在（1，3）遞減；
當x＞3時，f′（x）＞0，所以f（x）在（-∞，1）遞增；
所以h(0)=0，h(2)=

2

3

，
所以函數(shù)h（x）在[0，2]的最小值為0，所以有0＞a²+a，即-1＜a＜0

（3）g(x)=f/(x)+f/(

3

)=x2+1＞0，由a_n+1=g（a_n），a₁=2，
所以a_n+1=a_n²+1＞a_n²＞0，
所以lna_n+1＞2lna_n＞2²lna_n-1＞＞2^n-1ln2，
所以an＞22n-1，則有

1

an

＜

1

22n-1

，
所以

1

a1

+

1

a2

++

1

an

＜

1

2

+

1

22

+

1

24

++

1

22n-1

＜

1

2

+

1

22

+

1

23

+

1

24

+

1

25

++

1

22n-1

-

1

23

＜

1 2 [1-( 1 2 )2n-1]

1- 1 2

-

1

23

＜1-(

1

2

)2n-1-

1

8

＜

7

8

（14分）

點評：本題考查數(shù)列和不等式的綜合運用，解題時要認真審題，仔細解答，注意公式的靈活運用．