Question

已知數(shù)列{a_n}是各項均不為0的等差數(shù)列，S_n為其前n項和，且滿足a_n²=S_2n-1，令bn=

1

an•an+1

，數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式及數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n；
（2）是否存在正整數(shù)m，n（1＜m＜n），使得T₁，T_m，T_n成等比數(shù)列？若存在，求出所有的m，n的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）把等差數(shù)列的求和公式代入a_n²=S_2n-1整理后可求得a_n，代入bn=

1

an•an+1

利用裂項法求得T_n．
（2）根據(jù)（1）中求得T_n分別表示出T₁，T_m，T_n根據(jù)等比中項的性質(zhì)建立等式，化簡整理即可求得m的范圍，進而根據(jù)m和n均為正整數(shù)求得m，進而n

解答：解：（1）因為{a_n}是等差數(shù)列，
由

a

2 n

=S2n-1=

(a1+a2n-1)(2n-1)

2

=(2n-1)an，
又因為a_n≠0，所以a_n=2n-1，
由bn=

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
所以Tn=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

++

1

2n-1

-

1

2n+1

)=

n

2n+1

．
（2）由（1）知，Tn=

n

2n+1

，
所以T1=

1

3

，Tm=

m

2m+1

，Tn=

n

2n+1

，
若T₁，T_m，T_n成等比數(shù)列，則(

m

2m+1

)2=

1

3

(

n

2n+1

)，
即

m2

4m2+4m+1

=

n

6n+3

．
由

m2

4m2+4m+1

=

n

6n+3

，
可得

3

n

=

-2m2+4m+1

m2

，
所以-2m²+4m+1＞0，
從而：1-

6

2

＜m＜1+

6

2

，又m∈N，且m＞1，
所以m=2，此時n=12．
故可知：當且僅當m=2，n=12使數(shù)列{T_n}中的T₁，T_m，T_n成等比數(shù)列．

點評：本題主要考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)．考查了學生綜合分析問題和實際運算能力．