【題目】已知函數(shù)，函數(shù)在點(diǎn)處的切線斜率為0.

（1）試用含有的式子表示，并討論的單調(diào)性；

（2）對(duì)于函數(shù)圖象上的不同兩點(diǎn)，，如果在函數(shù)圖象上存在點(diǎn)，使得在點(diǎn)處的切線，則稱存在“跟隨切線”.特別地，當(dāng)時(shí)，又稱存在“中值跟隨切線”.試問(wèn)：函數(shù)上是否存在兩點(diǎn)使得它存在“中值跟隨切線”，若存在，求出的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由.

【答案】（1），單調(diào)性見解析；（2）不存在，理由見解析

【解析】

（1）由題意得，即可得；求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)、、、分類討論，分別求出、的解集即可得解；

（2）假設(shè)滿足條件的、存在，不妨設(shè)，且，由題意得可得，令（），構(gòu)造函數(shù)（），求導(dǎo)后證明即可得解.

（1）由題可得函數(shù)的定義域?yàn)?/span>且，

由，整理得.

.

（ⅰ）當(dāng)時(shí)，易知，，時(shí).

故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

（ⅱ）當(dāng)時(shí)，令，解得或，則

①當(dāng)，即時(shí)，在上恒成立，則在上遞增.

②當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，.

所以在上單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增.

③當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

所以在上單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增.

綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.

當(dāng)時(shí)，在及上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減.

當(dāng)時(shí)，在上遞增.

當(dāng)時(shí)，在及上單調(diào)遞增；在上遞減.

（2）滿足條件的、不存在，理由如下：

假設(shè)滿足條件的、存在，不妨設(shè)，且，

則，

又，

由題可知，整理可得：，

令（），構(gòu)造函數(shù)（）.

則，

所以在上單調(diào)遞增，從而，

所以方程無(wú)解，即無(wú)解.

綜上，滿足條件的A、B不存在.

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【題目】超級(jí)病菌是一種耐藥性細(xì)菌，產(chǎn)生超級(jí)細(xì)菌的主要原因是用于抵抗細(xì)菌侵蝕的藥物越來(lái)越多，但是由于濫用抗生素的現(xiàn)象不斷的發(fā)生，很多致病菌也對(duì)相應(yīng)的抗生素產(chǎn)生了耐藥性，更可怕的是，抗生素藥物對(duì)它起不到什么作用，病人會(huì)因?yàn)楦腥径鹂膳碌难装Y，高燒、痙攣、昏迷直到最后死亡.某藥物研究所為篩查某種超級(jí)細(xì)菌，需要檢驗(yàn)血液是否為陽(yáng)性，現(xiàn)有n（）份血液樣本，每個(gè)樣本取到的可能性均等，有以下兩種檢驗(yàn)方式：

（1）逐份檢驗(yàn)，則需要檢驗(yàn)n次；

（2）混合檢驗(yàn)，將其中k（且）份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗(yàn)，若檢驗(yàn)結(jié)果為陰性，這k份的血液全為陰性，因而這k份血液樣本只要檢驗(yàn)一次就夠了，如果檢驗(yàn)結(jié)果為陽(yáng)性，為了明確這k份血液究竟哪幾份為陽(yáng)性，就要對(duì)這k份再逐份檢驗(yàn)，此時(shí)這k份血液的檢驗(yàn)次數(shù)總共為次，假設(shè)在接受檢驗(yàn)的血液樣本中，每份樣本的檢驗(yàn)結(jié)果是陽(yáng)性還是陰性都是獨(dú)立的，且每份樣本是陽(yáng)性結(jié)果的概率為p（）.

（1）假設(shè)有5份血液樣本，其中只有2份樣本為陽(yáng)性，若采用逐份檢驗(yàn)方式，求恰好經(jīng)過(guò)2次檢驗(yàn)就能把陽(yáng)性樣本全部檢驗(yàn)出來(lái)的概率；

（2）現(xiàn)取其中k（且）份血液樣本，記采用逐份檢驗(yàn)方式，樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)為，采用混合檢驗(yàn)方式，樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)為.

（i）試運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)的知識(shí)，若，試求p關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系式；

（ii）若，采用混合檢驗(yàn)方式可以使得樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)的期望值比逐份檢驗(yàn)的總次數(shù)期望值更少，求k的最大值.

參考數(shù)據(jù)：，，，，

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【題目】已知函數(shù)f（x）=aex，g（x）=lnx-lna，其中a為常數(shù)，且曲線y=f（x）在其與y軸的交點(diǎn)處的切線記為l1，曲線y=g（x）在其與x軸的交點(diǎn)處的切線記為l2，且l1∥l2．

（1）求l1，l2之間的距離；

（2）若存在x使不等式成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

（3）對(duì)于函數(shù)f（x）和g（x）的公共定義域中的任意實(shí)數(shù)x0，稱|f（x0）-g（x0）|的值為兩函數(shù)在x0處的偏差．求證：函數(shù)f（x）和g（x）在其公共定義域內(nèi)的所有偏差都大于2．

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【題目】我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算術(shù)》一書中，用圖①的數(shù)表列出了一些正整數(shù)在三角形中的一種幾何排列，俗稱“楊輝三角形”，該數(shù)表的規(guī)律是每行首尾數(shù)字均為，從第三行開始，其余的數(shù)字是它“上方”左右兩個(gè)數(shù)字之和�，F(xiàn)將楊輝三角形中的奇數(shù)換成，偶數(shù)換成，得到圖②所示的由數(shù)字和組成的三角形數(shù)表，由上往下數(shù)，記第行各數(shù)字的和為，如，則____________

① ②

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【題目】 設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，左頂點(diǎn)為，頂點(diǎn)為B.已知（為原點(diǎn)）.

（Ⅰ）求橢圓的離心率；

（Ⅱ）設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓在軸上方的交點(diǎn)為，圓同時(shí)與軸和直線相切，圓心在直線上，且，求橢圓的方程.

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（2）試討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

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設(shè)函數(shù)．

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（2）若不等式的解集是非空集，求的范圍．

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A. B. C. D.

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【題目】如圖，正四面體底面的中心為，的重心為.是內(nèi)部一動(dòng)點(diǎn)（包括邊界），滿足，，不共線且點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到平面的距離相等.

（1）證明：平面；

（2）若，求四面體體積的最大值.

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