Question

已知定義在[-1，1]上的奇函數(shù)f（x），當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，．
（1）求函數(shù)f（x）在[-1，1]上的解析式；
（2）判斷f（x）在（0，1]上的單調(diào)性，并證明；
（3）要使方程f（x）=x+b在[-1，1]上恒有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

解：（1）設(shè)x∈[-1，0），則-x∈（0，1]
∵當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，
∴
∵f（x）是奇函數(shù)
∴f（x）=-f（-x）=
∵f（0）=0
∴函數(shù)f（x）在[-1，1]上的解析式為f（x）=；
（2）f（x）在（0，1]上單調(diào)遞減，證明如下：
∵當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，，
∴
∵x∈（0，1]，∴f′（x）＜0
∴f（x）在（0，1]上單調(diào)遞減；
（3）記g（x）=f（x）-x，則g（x）為（0，1]上的單調(diào)遞減函數(shù)．
∴g（x）∈[g（1），g（0））?g（x）∈[-，）．
∵g（x）在[-1，1]上為奇函數(shù)，∴當(dāng)x∈[-1，0）時(shí)g（x）∈（-，]．
又g（0）=0，
∴g（x）∈[-，]，即b∈[-，]．
分析：（1）設(shè)x∈[-1，0），則-x∈（0，1]，利用當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，，函數(shù)為奇函數(shù)，可求函數(shù)的解析式；
（2）利用導(dǎo)數(shù)，判斷導(dǎo)數(shù)小于0，即可求得函數(shù)的單調(diào)性；
（3）將b表示為x的函數(shù)，利用單調(diào)性求f（x）-x在[-1，1]上值域，即可求得實(shí)數(shù)b的取值范圍
點(diǎn)評(píng)：本題考查單調(diào)性與奇偶性，考查函數(shù)的解析式，考查單調(diào)性的證明，考查函數(shù)的值域，屬于中檔題．