Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=4，a_n+1=

3an+2

an+4

．求a_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由數(shù)列遞推式得到

an+1+2 an+1-1

an+2 an-1

=

5

2

，求得

a1+2

a1-1

=

4+2

4-1

=2．得到數(shù)列{

an+2

an-1

}構(gòu)成以2為首項(xiàng)，以

5

2

為公比的等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得答案．

解答： 解：由a_n+1=

3an+2

an+4

，得

an+1+2

an+1-1

=

3an+2 an+4 +2

3an+2 an+4 -1

=

5an+10 an+4

2an-2 an+4

=

5(an+2)

2(an-1)

．
∴

an+1+2 an+1-1

an+2 an-1

=

5

2

．
由a₁=4，得

a1+2

a1-1

=

4+2

4-1

=2．
∴數(shù)列{

an+2

an-1

}構(gòu)成以2為首項(xiàng)，以

5

2

為公比的等比數(shù)列，
則

an+2

an-1

=2•(

5

2

)n-1，
∴an=

2•( 5 2 )n-1+2

2•( 5 2 )n-1-1

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)列遞推式，考查了等比關(guān)系的確定，解答此題的關(guān)鍵在于等比數(shù)列的構(gòu)造，是中檔題．