Question

已知x，y∈（-

1

2

，

1

2

），m∈R，m≠0，若

x3+sinx+2m=0 4y3+ 1 2 sin2y-m=0

，則

y

x

=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：先將兩個(gè)方程分別整理成2m=-x³-sinx與2m=（2y）³+sin2y的形式，則x可看成直線y=2m與函數(shù)y=-x³-sinx圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，2y可看成直線y=2m與函數(shù)y=x³+sinx圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；且函數(shù)y=-x³-sinx的圖象與函數(shù)y=x³+sinx的圖象都關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且它們兩個(gè)彼此關(guān)于x軸對(duì)稱，則兩函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，所以兩函數(shù)圖象與直線y=2m的交點(diǎn)也關(guān)于y軸對(duì)稱，據(jù)此可得它們的交點(diǎn)橫坐標(biāo)x₁，x₂互為相反數(shù)，則原題可解．

解答： 解：由

x3+sinx+2m=0 4y3+ 1 2 sin2y-m=0

，可得

2m=-x3-sinx 2m=(2y)3+sin2y

，
∴x可看成直線y=2m與函數(shù)y=-x³-sinx圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，2y可看成直線y=2m與函數(shù)y=x³+sinx圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；
又∵函數(shù)y=-x³-sinx與函數(shù)y=x³+sinx都是奇函數(shù)，所以它們的圖象都關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
而這兩個(gè)函數(shù)實(shí)際上是y=f（x）與y=-f（x）間的關(guān)系，∴他兩個(gè)函數(shù)圖象關(guān)于x軸對(duì)稱，
由以上可得函數(shù)y=-x³-sinx的圖象與函數(shù)y=x³+sinx的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，
∴它們與直線y=2m（m≠0）的交點(diǎn)（介于x∈（-

1

2

，

1

2

）之間且不過(guò)原點(diǎn)）關(guān)于y軸對(duì)稱，
∴x+2y=0且（xy≠0）
∴

y

x

=-

1

2

．
故答案為-

1

2

點(diǎn)評(píng)：這是一道利用函數(shù)思想來(lái)解決方程根的問(wèn)題，要先把根看成某函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)或看成某兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再利用函數(shù)的思想結(jié)合函數(shù)的圖象性質(zhì)解決問(wèn)題．