Question

已知函數(shù)f(x)=loga

1-mx

x-1

(a＞0，a≠1)的圖象關(guān)于原點對稱．
（1）求m的值；
（2）判斷函數(shù)f（x）在（1，+∞）上的單調(diào)性，并根據(jù)定義證明．

Answer 1

分析：（1）由題意得，f（x）是奇函數(shù)，得f（-x）+f（x）=0，代入解析式再用比較系數(shù)法，可得m=-1；
（2）令對數(shù)的真數(shù)為t，利用單調(diào)性的定義可以證出t（x）在區(qū)間（1，+∞）上是減函數(shù)，再用復合函數(shù)單調(diào)性可得原函數(shù)在區(qū)間（1，+∞）上的單調(diào)性．

解答：解：（1）∵函數(shù)f(x)=loga

1-mx

x-1

(a＞0，a≠1)的圖象關(guān)于原點對稱
∴函數(shù)為奇函數(shù)，滿足f（-x）+f（x）=0，即loga

1+mx

-x-1

+loga

1-mx

x-1

=0對定義域內(nèi)任意x都成立，
即loga(

1+mx

-x-1

•

1-mx

x-1

)=log_a1，

1-m2x2

1-x2

=1對定義域內(nèi)任意x都成立，
∴m²=1，得m=±1，經(jīng)檢驗m=1不符合題意舍去，所以m的值為-1；
（2）當0＜a＜1時，f（x）是（1，+∞）的增函數(shù)；當a＞1時，f（x）是（1，+∞）的減函數(shù)，證明如下
由（1）得f(x)=loga

1+x

x-1

，（x＞1）
設(shè)t=

1+x

x -1

，再令1＜x₁＜x₂，則t₁=

1+x1

x1-1

，t₂=

1+x2

x2-1

，
可得t₁-t₂=

1+x1

x1-1

-

1+x2

x2-1

=

2(x2-x1)

(x1-1)(x2-1)

＞0，有t₁＞t₂，
∴函數(shù)t=

1+x

x-1

是（1，+∞）上的減函數(shù)．
根據(jù)復合函數(shù)單調(diào)性法則，得：當0＜a＜1時，f（x）是（1，+∞）的增函數(shù)；
當a＞1時，f（x）是（1，+∞）的減函數(shù)．

點評：本題給出真數(shù)為分式對數(shù)型函數(shù)，并研究它的單調(diào)性與奇偶性，著重考查了基本初等函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性等常見性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．