Question

在平面xoy中，不等式x²+y²≤4確定的平面區(qū)域?yàn)閁，不等式組

x-y≥0 x+y≥0

確定的平面區(qū)域?yàn)閂．
（Ⅰ）定義橫、縱坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)為“整點(diǎn)”，在區(qū)域U中任取3個(gè)“整點(diǎn)”，求這些“整點(diǎn)”恰好有兩個(gè)“整點(diǎn)”落在區(qū)域V中的概率；
（Ⅱ）在區(qū)域U中每次任取一個(gè)點(diǎn)，若所取的點(diǎn)落在區(qū)域V中，稱試驗(yàn)成功，否則稱試驗(yàn)失敗．現(xiàn)進(jìn)行取點(diǎn)試驗(yàn)，到成功了4次為止，求在此之前共有三次失敗，且恰有兩次連續(xù)失敗的概率．

Answer 1

（Ⅰ）平面區(qū)域U中的整點(diǎn)為：（2，0），（-1，1），（1，0），（1，1），（0，1），（0，2），（0，0），
（-1，0），（-2，0），（0，-2），（-1，-1），（0，-1），（1，-1）共13個(gè)；
平面區(qū)域V中的整點(diǎn)為：（0，0），（1，0），（2，0），（1，1），（1-1）共5個(gè)．
記“在區(qū)域U中任取3個(gè)“整點(diǎn)”，這些“整點(diǎn)”恰好有兩個(gè)“整點(diǎn)”落在區(qū)域V中”為事件A．
則P(A)=

C 25 C 18

C 313

=

40

143

．
（Ⅱ）平面區(qū)域?yàn)閂的面積為SV=

1

2

×

π

2

×22=π，平面區(qū)域?yàn)閁的面積為SU=π×22=4π．
所以在區(qū)域U中每次任取一點(diǎn)，落在區(qū)域V中的概率為

π

4π

=

1

4

．
由題意得，記“到成功了4次為止，在此之前共有三次失敗，且恰有兩次連續(xù)失敗”為事件A，
則P(A)=

A

24

(

1

4

)3(1-

1

4

)3×

1

4

=

81

4096

．