設函數(shù)f(x)=x3-
92
x2+6x-a

(1)對于任意實數(shù)x,f′(x)≥m恒成立,求m的最大值;
(2)若方程f(x)=0有且僅有一個實根,求a的取值范圍.
分析:(1)先求函數(shù)f(x)的導數(shù),然后求出f'(x)的最小值,使f'(x)min≥m成立即可.
(2)若欲使方程f(x)=0有且僅有一個實根,只需求出函數(shù)的極大值小于零,或求出函數(shù)的極小值大于零即可.
解答:解:(1)f′(x)=3x2-9x+6=3(x-1)(x-2),
因為x∈(-∞,+∞),f′(x)≥m,
即3x2-9x+(6-m)≥0恒成立,
所以△=81-12(6-m)≤0,
m≤-
3
4
,即m的最大值為-
3
4

(2)因為當x<1時,f′(x)>0;
當1<x<2時,f′(x)<0;當x>2時,f′(x)>0;
所以當x=1時,f(x)取極大值f(1)=
5
2
-a

當x=2時,f(x)取極小值f(2)=2-a;
故當f(2)>0或f(1)<0時,
方程f(x)=0僅有一個實根、解得a<2或a>
5
2
點評:本題主要考查了一元二次函數(shù)恒成立問題,以及函數(shù)與方程的思想,屬于基礎題.
練習冊系列答案
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設函數(shù)f(x)=x3-(
12
)x-2
,則其零點所在區(qū)間為
 

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設函數(shù)f(x)=x3-(
1
2
)x-2
,則其零點所在區(qū)間為(  )
A、(0,1)
B、(1,2)
C、(2,3)
D、(3,4)

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設函數(shù)f(x)=x3-tx+
t-1
2
,t∈R

(I)試討論函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,1]上的單調性:
(II)求最小的實數(shù)h,使得對任意x∈[0,1]及任意實數(shù)t,f(x)+|
t-1
2
|+h≥0
恒成立.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設函數(shù)f(x)=
x
3
 
-3a
x
2
 
+3bx
的圖象與直線12x+y-1=0相切于點(1,-11).
(I)求a,b的值;
(II)如果函數(shù)g(x)=f(x)+c有三個不同零點,求c的取值范圍.

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