Question

設(shè)函數(shù)f（x）=|x+a|-|x-4|，x∈R
①當(dāng)a=1時(shí)，解不等式f（x）＜2；
②若關(guān)于x的不等式f（x）≤5-|a+1|恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：絕對(duì)值不等式的解法,函數(shù)恒成立問(wèn)題

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：①f（x）=|x+1|-|x-4|=

5，x≥4 2x-3，-1＜x＜4 -5，x≤-1

，對(duì)x取值范圍分類討論，去掉絕對(duì)值符號(hào)，再解即可；
②利用絕對(duì)值不等式的幾何意義，可得f（x）=|x+a|-|x-4|≤|a+4|，從而將所求轉(zhuǎn)化為解不等式|a+4|+|a+1|≤5，對(duì)a的取值范圍分類討論，去掉絕對(duì)值符號(hào)，再解即可得到實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：①∵f（x）=|x+1|-|x-4|=

5，x≥4 2x-3，-1＜x＜4 -5，x≤-1

，
∴當(dāng)x≥4時(shí)，5＜2，這是不可能的；
當(dāng)-1＜x＜4時(shí)，2x-3＜2，解得-1＜x＜

5

2

；
當(dāng)x≤-1時(shí)，-5＜2恒成立，故x≤-1；
綜上可得x＜

5

2

，
∴當(dāng)a=1時(shí)，不等式f（x）＜2的解集為（-∞，

5

2

）；
②∵f（x）=|x+a|-|x-4|=|x+a|-|4-x|≤|（x+a）+（4-x）|=|a+4|，
要使f（x）≤5-|a+1|恒成立，須使|a+4|≤5-|a+1|，
即|a+4|+|a+1|≤5，
當(dāng)a≤-4時(shí)，-（a+4）-（a+1）≤5，解得-5≤a≤-4；
當(dāng)-4＜a＜-1時(shí)，a+4-（a+1）=3≤5恒成立，故-4＜a＜-1；
當(dāng)a≥-1時(shí)，a+4+（a+1）=2a+5≤5，解得-1≤a≤0；
綜上所述，-5≤a≤0．
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為[-5，0]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查絕對(duì)值不等式的解法，著重考查分類討論思想與等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的綜合應(yīng)用，考查解不等式的運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．