Question

已知橢圓：的離心率為，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線相切．

(1)求橢圓C的方程；

(2)設(shè)，、是橢圓上關(guān)于軸對(duì)稱的任意兩個(gè)不同的點(diǎn)，連結(jié)交橢圓于另一點(diǎn)，求直線的斜率的取值范圍；

(3)在(2)的條件下，證明直線與軸相交于定點(diǎn)．

 

Answer 1

【答案】

⑴⑵或．⑶利用韋達(dá)定理及坐標(biāo)運(yùn)算即可證明

【解析】

試題分析：⑴由題意知，所以，即，又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013072312345316756840/SYS201307231235363483700324_DA.files/image007.png">，所以，故橢圓的方程為：．   4分

⑵由題意知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為 ①

聯(lián)立消去得：，       6分

由得，        7分

又不合題意，

所以直線的斜率的取值范圍是或．      9分

⑶設(shè)點(diǎn)，則，直線的方程為

令，得，將代入整理，得．    ②           12分

由得①代入②整理，得，

所以直線與軸相交于定點(diǎn)．        14分

考點(diǎn)：本題考查了橢圓及直線與橢圓的位置關(guān)系

點(diǎn)評(píng)：橢圓的概念和性質(zhì)，仍將是今后命題的熱點(diǎn)，定值、最值、范圍問(wèn)題將有所加強(qiáng)；利用直線、弦長(zhǎng)、圓錐曲線三者的關(guān)系組成的各類試題是解析幾何中長(zhǎng)盛不衰的主題，其中求解與相交弦有關(guān)的綜合題仍是今后命題的重點(diǎn)；與其它知識(shí)的交匯(如向量、不等式)命題將是今后高考命題的一個(gè)新的重點(diǎn)、熱點(diǎn).