Question

8．若函數(shù)f（x）=x²-2ax+3為定義在[-2，2]上的函數(shù)．
（1）當a=1時，求f（x）的最大值與最小值．
（2）若f（x）的最大值為M，最小值為m，函數(shù)g（a）=M-m，求g（a）的解析式，并求其最小值．

Answer 1

分析 （1）求一元二次函數(shù)的最大值與最小值首要判斷對稱軸是否在給定區(qū)間內；
（2）需要分類討論對稱軸是否在給定區(qū)間內，然后分別求出在各個區(qū)間內的最大值與最小值；

解答 解：（1）當a=1時，f（x）=x²-2x+3；
f（x）的對稱軸為：x=1；
對稱軸x=1在區(qū)間[-2，2]內，
故 f（x）的最小值為f（1）=2，最大值為f（-2）=11．
（2）f（x）的對稱軸為：x=a；
當a≥2時，f（x）在[-2，2]上為減函數(shù)
∴M=f（-2）=7+4a，m=7-4a；
∴g（a）=8a
當a≤-2時，f（x）在[-2，2]上為增函數(shù)
∴M=f（1）=7-4a，m=f（2）=7+4a
∴g（a）=M-m=-8a
當-2＜a≤0時，M=f（2）=7-4a，m=f（a）=a²-2a²+3=-a²+3
∴g（a）=M-m=a²-4a+4；
當0＜a＜2時，M=f（-2）=7+4a，m=f（a）=-a²+3
∴g（a）=M-m=a²+4a+4；
所以，g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{-8a，a≤2}\\{{a}^{2}-4a+4，-2＜a≤0}\\{{a}^{2}+4a+4，0＜a＜2}\\{8a，a≥2}\end{array}\right.$
∴g（a）的最小值為4．

點評 本題主要考查了一元二次函數(shù)在給定區(qū)間的最大值與最小值問題，屬常規(guī)題型，考生應熟練掌握．