Question

設(shè)f（x）=x³-

x2

2

-2x+5．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，f（x）＜m恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間可用導(dǎo)數(shù)法求，先求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，令其大于0，求出函數(shù)的增區(qū)間，令導(dǎo)數(shù)小于0求出函數(shù)的減區(qū)間．
（2）當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，f（x）＜m恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍即求函數(shù)f（x）=x³-

x2

2

-2x+5的最大值的問題，由（1）知，函數(shù)f（x）=x³-

x2

2

-2x+5的最大值在x=2處取，求出f（2）=7．可得m＞7．

解答：解：（1）f′（x）=3x²-x-2=0，得x=1，-

2

3

．
在（-∞，-

2

3

）和[1，+∞）上f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)；
在（-

2

3

，1）上f′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)．
所以所求f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，-

2

3

]和[1，+∞），單調(diào)減區(qū)間為[-

2

3

，1]．
（2）由（1）知，當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，f′（x）＞0，
∴f（x）為增函數(shù)，
∴f（x）≤f（2）=7．
∴m＞7時(shí)，對(duì)任意的x∈[1，2]，f（x）＜m恒成立，．
故實(shí)數(shù)m的取值范圍是m＞7．

點(diǎn)評(píng)：本題考查用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性及最值，這是導(dǎo)數(shù)的重要運(yùn)用．