Question

定義在D上的函數(shù)f（x），如果滿足；對任意x∈D，存在常數(shù)M＞0，都有|f（x）|≤M成立，則稱f（x）是D上的有界函數(shù)，其中M稱為函數(shù)f（x）的上界．已知函數(shù)f（x）=1+a•2^x+4^x，g（x）=

1-m•2x

1+m•2x

．
（1）當(dāng)a=1時，求函數(shù)f（x）在（0，+∞）上的值域，并判斷函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是否為有界函數(shù)，請說明理由；
（2）若函數(shù)f（x）在（-∞，0]上是以3為上界的函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）若m＞0，求函數(shù)g（x）在[0，1]上的上界T的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用換元法得到函數(shù)的表示式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到函數(shù)的值域，從值域上觀察不存在正數(shù)M，即函數(shù)在x∈（0，+∞）上不是有界函數(shù)．，
（2）根據(jù)函數(shù)f（x）在（-∞，0]上是以3為上界的函數(shù)，得到|1+2^x+4^x|≤3，換元以后得到關(guān)于t的不等式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)寫出對稱軸，求出a的范圍．
（3）根據(jù)第二問的做法，可以用同樣的方法，做出當(dāng)m 取值不同時，可以寫出T的取值，注意對于m的討論．

解答：解：（1）當(dāng)a=1時，f（x）=1+2^x+4^x，設(shè)t=2^x，所以t∈（1，+∞）
∴函數(shù)的值域是（3，+∞），不存在正數(shù)M，即函數(shù)在x∈（0，+∞）上不是有界函數(shù)．
（2）由已知函數(shù)f（x）在（-∞，0]上是以3為上界的函數(shù)，即：|1+a2^x+4^x|≤3
設(shè)t=2^x，所以t∈（0，1），不等式化為|1+at+t²|≤3
當(dāng)0＜-

a

2

≤1時，1-

1

4

a2≥-3且2+a≤3得-2≤a＜0
當(dāng)-

a

2

≤0或-

a

2

≥1
即a≤-2或a≥0時，得-5≤a≤-2或0≤a≤1
綜上有-5≤a≤1
（3）當(dāng)m∈(0，

2

2

]時，T的取值范圍是[

1-m

1+m

，+∞）；
當(dāng)m∈(

2

2

，+∞)時，T的取值范圍是[

2m-1

2m+1

，+∞)

點評：本題考查函數(shù)的綜合問題，本題解題的關(guān)鍵是利用條件中新定義的有界函數(shù)的意義來解題，既有證明是有界函數(shù)，又有應(yīng)用有界函數(shù)．