Question

PM2.5是指大氣中直徑小于或等于2.5微米的顆粒物，也稱為可入肺顆粒物．PM2.5日均值在35微克/立方米以下空氣質(zhì)量為一級；在35微克/立方米～75微克/立方米之間空氣質(zhì)量為二級；在75微克/立方米以上空氣質(zhì)量為超標．
石景山古城地區(qū)2013年2月6日至15日每天的PM2.5監(jiān)測數(shù)據(jù)如莖葉圖所示．
（Ⅰ）小陳在此期間的某天曾經(jīng)來此地旅游，求當天PM2.5日均監(jiān)測數(shù)據(jù)未超標的概率；
（Ⅱ）小王在此期間也有兩天經(jīng)過此地，這兩天此地PM2.5監(jiān)測數(shù)據(jù)均未超標．請計算出這兩天空氣質(zhì)量恰好有一天為一級的概率；
（Ⅲ）從所給10天的數(shù)據(jù)中任意抽取三天數(shù)據(jù)，記ξ表示抽到PM2.5監(jiān)測數(shù)據(jù)超標的天數(shù)，求ξ的分布列及期望．

Answer 1

解：（Ⅰ）記“當天PM2.5日均監(jiān)測數(shù)據(jù)未超標”為事件A，
因為有2+4天PM2.5日均值在75微克/立方米以下，
故P（A）==．
（Ⅱ）記“這兩天此地PM2.5監(jiān)測數(shù)據(jù)均未超標且空氣質(zhì)量恰好有一天為一級”為事件B，P（B）==．
（Ⅲ）ξ的可能值為0，1，2，3．
由莖葉圖可知：空氣質(zhì)量為一級的有2天，空氣質(zhì)量為二級的有4天，只有這6天空氣質(zhì)量不超標，而其余4天都超標．
P（ξ=0）=，P（ξ=1）=，
P（ξ=2）=，P（ξ=3）=．
ξ的分布列如下表：

ξ	0	1	2	3
P

∴Eξ=．
分析：（I）由莖葉圖可知：有2+4天PM2.5日均值在75微克/立方米以下，據(jù)此利用古典概型的概率計算公式即可得出；
（II）由莖葉圖可知：空氣質(zhì)量為一級的有2天，空氣質(zhì)量為二級的有4天，只有這6天空氣質(zhì)量不超標．據(jù)此可得得出其概率；
（III）由莖葉圖可知：空氣質(zhì)量為一級的有2天，空氣質(zhì)量為二級的有4天，只有這6天空氣質(zhì)量不超標，而其余4天都超標，利用“超幾何分布”即可得出．
點評：正確理解莖葉圖和“空氣質(zhì)量超標”的含義、古典概型的概率計算公式、超幾何分布、排列與組合的意義與計算公式是解題的關(guān)鍵．