Question

（2013•石景山區(qū)一模）PM2.5是指大氣中直徑小于或等于2.5微米的顆粒物，也稱為可入肺顆粒物．PM2.5日均值在35微克/立方米以下空氣質(zhì)量為一級；在35微克/立方米～75微克/立方米之間空氣質(zhì)量為二級；在75微克/立方米以上空氣質(zhì)量為超標(biāo)．
石景山古城地區(qū)2013年2月6日至15日每天的PM2.5監(jiān)測數(shù)據(jù)如莖葉圖所示．
（Ⅰ）小陳在此期間的某天曾經(jīng)來此地旅游，求當(dāng)天PM2.5日均監(jiān)測數(shù)據(jù)未超標(biāo)的概率；
（Ⅱ）小王在此期間也有兩天經(jīng)過此地，這兩天此地PM2.5監(jiān)測數(shù)據(jù)均未超標(biāo)．請計(jì)算出這兩天空氣質(zhì)量恰好有一天為一級的概率；
（Ⅲ）從所給10天的數(shù)據(jù)中任意抽取三天數(shù)據(jù)，記ξ表示抽到PM2.5監(jiān)測數(shù)據(jù)超標(biāo)的天數(shù)，求ξ的分布列及期望．

Answer 1

分析：（I）由莖葉圖可知：有2+4天PM2.5日均值在75微克/立方米以下，據(jù)此利用古典概型的概率計(jì)算公式即可得出；
（II）由莖葉圖可知：空氣質(zhì)量為一級的有2天，空氣質(zhì)量為二級的有4天，只有這6天空氣質(zhì)量不超標(biāo)．據(jù)此可得得出其概率；
（III）由莖葉圖可知：空氣質(zhì)量為一級的有2天，空氣質(zhì)量為二級的有4天，只有這6天空氣質(zhì)量不超標(biāo)，而其余4天都超標(biāo)，利用“超幾何分布”即可得出．

解答：解：（Ⅰ）記“當(dāng)天PM2.5日均監(jiān)測數(shù)據(jù)未超標(biāo)”為事件A，
因?yàn)橛?+4天PM2.5日均值在75微克/立方米以下，
故P（A）=

2+4

10

=

3

5

．
（Ⅱ）記“這兩天此地PM2.5監(jiān)測數(shù)據(jù)均未超標(biāo)且空氣質(zhì)量恰好有一天為一級”為事件B，P（B）=

C 1 2 C 1 4

C 2 6

=

8

15

．
（Ⅲ）ξ的可能值為0，1，2，3．
由莖葉圖可知：空氣質(zhì)量為一級的有2天，空氣質(zhì)量為二級的有4天，只有這6天空氣質(zhì)量不超標(biāo)，而其余4天都超標(biāo)．
P（ξ=0）=

C 3 6

C 3 10

=

1

6

，P（ξ=1）=

C 2 6 C 1 4

C 3 10

=

1

2

，
P（ξ=2）=

C 1 6 C 2 4

C 3 10

=

3

10

，P（ξ=3）=

C 3 4

C 3 10

=

1

30

．
ξ的分布列如下表：

ξ	0	1	2	3
P	1 6	1 2	3 10	1 30

∴Eξ=0×

1

6

+1×

1

2

+2×

3

10

+3×

1

30

=

6

5

．

點(diǎn)評：正確理解莖葉圖和“空氣質(zhì)量超標(biāo)”的含義、古典概型的概率計(jì)算公式、超幾何分布、排列與組合的意義與計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．