Question

【題目】如圖，四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD． （Ⅰ）證明：PA⊥BD；
（Ⅱ）若PD=AD，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明：因為∠DAB=60°，AB=2AD，由余弦定理得BD= ， 從而BD2+AD2=AB2 ， 故BD⊥AD
又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD
所以BD⊥平面PAD．故PA⊥BD
（Ⅱ）如圖，以D為坐標(biāo)原點，AD的長為單位長，
射線DA為x軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系D﹣xyz，

則A（1，0，0），B（0， ，0），C（﹣1， ，0），P（0，0，1）．
=（﹣1， ，0）， （0， ，﹣1）， （﹣1，0，0），
設(shè)平面PAB的法向量為 =（x，y，z），則
即 ，
因此可取 =（ ，1， ）
設(shè)平面PBC的法向量為 =（x，y，z），則 ，
即：
可取 =（0，1， ），cos＜ ＞=
故二面角A﹣PB﹣C的余弦值為：﹣ ．
【解析】（Ⅰ）因為∠DAB=60°，AB=2AD，由余弦定理得BD= ，利用勾股定理證明BD⊥AD，根據(jù)PD⊥底面ABCD，易證BD⊥PD，根據(jù)線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，可證PA⊥BD；（Ⅱ）建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點A，B，C，P的坐標(biāo)，求出向量 ，和平面PAB的法向量，平面PBC的法向量，求出這兩個向量的夾角的余弦值即可．