設(shè)函數(shù)f(x)=x3-3tx+m(x∈R,m和t為常數(shù))是奇函數(shù).
(Ⅰ)求實數(shù)m的值和函數(shù)f(x)的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo);
(Ⅱ)求f(x)(x∈[0,1])的最大值F(t).
分析:(Ⅰ)根據(jù)f(x)為R上的奇函數(shù),則f(0)=0,可求出m的值,令f(x)=0,討論t的取值范圍,分別求出方程的解,即為函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo),從而求出所求;
(Ⅱ)討論t的取值范圍,利用導(dǎo)數(shù)符合判定函數(shù)的單調(diào)性,從而求出函數(shù)在[0,1]上的最值,從而求出f(x)(x∈[0,1])的最大值F(t).
解答:解:(Ⅰ)∵f(x)為R上的奇函數(shù),
∴f(0)=0,則m=0,
設(shè)f(x)=x3-3tx=x(x2-3t)=0,
①當(dāng)t<0時,上述方程只有一個實數(shù)根x=0,
∴f(x)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0);
②當(dāng)t=0時,上述方程有三個相等實數(shù)根x1=x2=x3=0,
∴f(x)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0);
③當(dāng)t>0時,上述方程的解為x1=0,x2,3
3t
,
∴f(x)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為(0,0),(
3t
,0),(-
3t
,0).
綜合①②③,當(dāng)t<0時,f(x)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0),
當(dāng)t=0時,f(x)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0),
當(dāng)t>0時,f(x)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為(0,0),(
3t
,0),(-
3t
,0).
(Ⅱ)∵f(x)=x3-3tx,
∴f′(x)=3(x2-t),x∈[0,1],
①當(dāng)t≤0時,f′(x)≥0,則f(x)在[0,1]上為增函數(shù),
∴f(x)在x∈[0,1]上的最大值為F(t)=f(1)=1-3t;
②當(dāng)t>0時,f′(x)=3(x+
t
)(x-
t
),
令f′(x)=0,則x1=-
t
,x2=
t
,
令f′(x)>0,則x<-
t
或x>
t
,令f′(x)<0,則-
t
<x<
t
,
列表如下:
        x (-∞,-
t
-
t
 (-
t
,
t
) 
      
t
t
,+∞)
f′(x) + 0 - 0 +
f(x) 極大值 極小值
又∵x∈[0,1],
∴當(dāng)1≤
3t
,即t≥
1
3
時,f(x)在x∈[0,1]上的最大值為F(t)=f(0)=0,
當(dāng)
3t
<1,即0<t<
1
3
時,f(x)在x∈[0,1]上的最大值為F(t)=f(1)=1-3t,
綜上所述,F(t)=
1-3t,t<
1
3
0,t≥
1
3
點(diǎn)評:本題主要考查了奇函數(shù)的性質(zhì),以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值,同時考查了分類討論的思想和運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題.
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12
,1)
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