Question

已知橢圓E的左右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，過(guò)F₁作斜率為2的直線(xiàn)交橢圓E于P點(diǎn)，若△PF₁F₂為直角三角形，則橢圓E的離心率為

 

．

Answer 1

分析：①當(dāng)PF₂⊥x軸時(shí)，可得P(c，

b2

a

)，由于直線(xiàn)的斜率為2，可得

b2 a

2c

=2，即可得出．
②當(dāng)PF₁⊥PF₂時(shí)，設(shè)|PF₁|=m，|PF₂|=n，則

m+n=2a n m =2 m2+n2=4c2

即可得出．

解答：解：分類(lèi)討論：①當(dāng)PF₂⊥x軸時(shí)，可得P(c，

b2

a

)，
∵直線(xiàn)的斜率為2，
∴

b2 a

2c

=2，化為b²=4ac=a²-c²，
∴e²+4e-1=0，1＞e＞0，
解得e=

5

-2．
②當(dāng)PF₁⊥PF₂時(shí)，設(shè)|PF₁|=m，|PF₂|=n，
則

m+n=2a n m =2 m2+n2=4c2

化為9c²=5a²，
解得e=

5

3

．
綜上可知：橢圓的離心率為

5

-2或

5

3

．
故答案為：

5

-2或

5

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的定義與性質(zhì)、分類(lèi)討論、直角三角形的邊角關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于難題．