Question

【題目】在中，已知，，，為線段上的一點(diǎn)，且，則的最小值為（ ）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】C

【解析】分析：△ABC中設(shè)AB=c，BC=a，AC=b，由sinB=cosAsinC結(jié)合三角形的內(nèi)角和及和角的正弦公式化簡(jiǎn)可求 cosC=0 即C=90°，再由，S△ABC=6可得bccosA=9，可求得c=5，b=3，a=4，考慮建立以AC所在的直線為x軸，以BC所在的直線為y軸建立直角坐標(biāo)系，由P為線段AB上的一點(diǎn)，則存在實(shí)數(shù)λ使得=（3λ，4﹣4λ）（0≤λ≤1），設(shè)則，，由=（x，0）+（0，y）=（x，y）可得x=3λ，y=4﹣4λ則4x+3y=12而，利用基本不等式求解最小值．

詳解：△ABC中設(shè)AB=c，BC=a，AC=b

∵sinB=cosAsinC，∴sin（A+C）=sinCcosA，

即sinAcosC+sinCcosA=sinCcosA，

∴sinAcosC=0，

∵sinA≠0，∴cosC=0 C=90°

∵，S△ABC=6

∴bccosA=9，

∴，根據(jù)直角三角形可得sinA=，cosA=，bc=15

∴c=5，b=3，a=4

以AC所在的直線為x軸，以BC所在的直線為y軸建立直角坐標(biāo)系可得C（0，0）A（3，0）B（0，4）

P為線段AB上的一點(diǎn)，則存在實(shí)數(shù)λ使得=（3λ，4﹣4λ）（0≤λ≤1）

設(shè)，則，

∴=（x，0）+（0，y）=（x，y）

∴x=3λ，y=4﹣4λ則4x+3y=12

=

故所求的最小值為

故選：C．