Question

（本小題滿分14分）

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.如圖，ABCD是梯形，AB//CD，，PA⊥面ABCD，         

且AB=1，AD=1，CD=2，PA=3，E為PD的中點

（Ⅰ）求證：AE//面PBC.

（Ⅱ）求直線AC與PB所成角的余弦值；

（Ⅲ）在面PAB內(nèi)能否找一點N，使NE⊥面PAC. 若存在，找出并證明；若不存在，請說明理由。

 

Answer 1

【答案】

 

解： （Ⅰ）取PC中點為F，連結(jié)EF，BF                         

又E為PD的中點，所以且

所以EF//AB，且EF=AB，所以ABFE為平行四邊形                    …2分

所以AE//BF，  因為AE面PBC， 所以AE//面PBC                  …4分

（Ⅱ）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則    A、B、C、D、P、E的坐標(biāo)分別為A（0，0，0），

B（1，0，0），C（2，1，0），D（0，1，0），

（0，0，3），E（0，，） …5分

從而=（2，1，0），=（1，0，）

設(shè)與的夾角為，則

，  …7分

∴AC與PB所成角的余弦值為                …8分

（Ⅲ）法1：由于N點在面PAB內(nèi)，故可設(shè)N點坐標(biāo)為（x，0，z），

則   由NE⊥面PAC可得：     …10分

即

化簡得   即N點的坐標(biāo)為（，0，）  

所以在面PAB內(nèi)存在點N（，0，），使NE⊥面PAC.       …14分

（Ⅲ）法2：在面ABCD內(nèi)過D作AC的垂線交AB于G，連PG，

設(shè)N為PG的中點，連NE，則NE//DG，                          …10分

∵DG⊥AC，DG⊥PA，∴DG⊥面PAC 從而NE⊥面PAC           …14分

【解析】略