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【題目】已知數列{an}滿足a1=1,an+1=3an+1.
(1)證明{an+ }是等比數列,并求{an}的通項公式;
(2)證明: + +…+

【答案】
(1)證明: =3,

≠0,

∴數列{an+ }是以首項為 ,公比為3的等比數列;

∴an+ = = ,即 ;


(2)證明:由(1)知 ,

當n≥2時,∵3n﹣1>3n﹣3n1,∴ = ,

∴當n=1時, 成立,

當n≥2時, + +…+ <1+ …+ = =

∴對n∈N+時, + +…+


【解析】(1)根據等比數列的定義,后一項與前一項的比是常數,即 =常數,又首項不為0,所以為等比數列;再根據等比數列的通項化式,求出{an}的通項公式;(2)將 進行放大,即將分母縮小,使得構成一個等比數列,從而求和,證明不等式.
【考點精析】認真審題,首先需要了解數列的前n項和(數列{an}的前n項和sn與通項an的關系),還要掌握等比數列的基本性質({an}為等比數列,則下標成等差數列的對應項成等比數列;{an}既是等差數列又是等比數列== {an}是各項不為零的常數列)的相關知識才是答題的關鍵.

練習冊系列答案
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