【題目】在△ABC中,三個內(nèi)角是A,B,C的對邊分別是a,b,c,其中c=10,且 .
(1)求證:△ABC是直角三角形;
(2)設(shè)圓O過A,B,C三點,點P位于劣弧AC上,∠PAB=60°,求四邊形ABCP的面積.
【答案】
(1)證明:根據(jù)正弦定理得, .
整理為:sinAcosA=sinBcosB,即sin2A=sin2B,
因為0<A<π,0<B<π,所以0<2A<2π,0<2B<2π,所以A=B,或者A+B= .
由于 ,
故△ABC是直角三角形.
(2)解:由(1)可得:a=6,b=8.
在Rt△ABC中,sin∠CAB= = ,cos∠CAB=
sin∠PAC=sin(60°﹣∠CAB)
=sin60°cos∠CAB﹣cos60°sin∠CAB
= .
連接PB,在Rt△APB中,AP=ABcos∠PAB=5.
所以四邊形ABCP的面積
S四邊形△ABCP=S△ABC+S△PAC
=
= .
【解析】(1)由題設(shè)條件 .利用正弦定理可得 ,整理得討論知,A=B或者A+B= .又 ,所以A+B= . 由此可以得出,△ABC是直角三角形;(2)將四邊形ABCP的面積表示成兩個三角形S△ABC與S△PAC的和,S△ABC易求,S△PAC需求出線段PA的長度與sin∠PAC的值,利用三角形的面積公式求解即可.
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件,利用正弦定理的定義的相關(guān)知識可以得到問題的答案,需要掌握正弦定理:.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)Sn為正項數(shù)列{an}的前n項和,a1=2,Sn+1(Sn+1﹣2Sn+1)=3Sn(Sn+1),則a100等于( )
A.2×398
B.4×398
C.2×399
D.4×399
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】等比數(shù)列{an}中,已知a1=1,a4=8,若a3 , a5分別為等差數(shù)列{bn}的第4項和第16項.
(1)求數(shù)列{an}﹑{bn}的通項公式;
(2)令cn=anbn , 求數(shù)列{cn}的前n項和Sn .
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【題目】如圖在四面體OABC中,OA,OB,OC兩兩垂直,且OB=OC=3,OA=4,給出如下判斷: ①存在點D(O點除外),使得四面體DABC有三個面是直角三角形;
②存在點D,使得點O在四面體DABC外接球的球面上;
③存在唯一的點D使得OD⊥平面ABC;
④存在點D,使得四面體DABC是正棱錐;
⑤存在無數(shù)個點D,使得AD與BC垂直且相等.
其中正確命題的序號是(把你認為正確命題的序號填上).
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【題目】已知函數(shù)f(x)=﹣3x2+a(6﹣a)x+c.
(1)當(dāng)c=19時,解關(guān)于a的不等式f(1)>0;
(2)若關(guān)于x的不等式f(x)>0的解集是(﹣1,3),求實數(shù)a,c的值.
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【題目】已知橢圓C的中心在原點,焦點在x軸上,離心率為 ,短軸長為4 . (Ⅰ)求橢圓C的標(biāo)準方程;
(Ⅱ)直線x=2與橢圓C交于P、Q兩點,A、B是橢圓O上位于直線PQ兩側(cè)的動點,且直線AB的斜率為 .
①求四邊形APBQ面積的最大值;
②設(shè)直線PA的斜率為k1 , 直線PB的斜率為k2 , 判斷k1+k2的值是否為常數(shù),并說明理由.
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【題目】如圖,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,點A1在平面ABC內(nèi)的射影O為AC的中點,A1O=2,AB⊥BC,AB=BC= 點P在線段A1B上,且cos∠PAO= ,則直線AP與平面A1AC所成角的正弦值為 .
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【題目】已知m,n,s,t∈R+ , m+n=2, + =9,其中m,n是常數(shù),當(dāng)s+t取最小值 時,m,n對應(yīng)的點(m,n)是橢圓 =1的一條弦的中點,則此弦所在的直線方程 .
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【題目】如果把直角三角形的三邊都增加同樣的長度,則這個新的三角形的形狀為( )
A.銳角三角形
B.直角三角形
C.鈍角三角形
D.由增加的長度決定
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