(本小題滿分14分)

(本題滿分14分)設(shè)函數(shù),∈R

(1)若的極值點(diǎn),求實(shí)數(shù);

(2)求實(shí)數(shù)的取值范圍,使得對(duì)任意的(0,3],恒有≤4成立.

注:為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)。

 

【答案】

(1) 或;(2).

【解析】第一問(wèn)利用導(dǎo)數(shù)在的極值點(diǎn),先求導(dǎo),然后在x=e處的導(dǎo)數(shù)值為零得到a的值。

第二問(wèn)中,要是對(duì)任意的(0,3],恒有≤4成立,只需求解函數(shù)y=f(x)在給定區(qū)間(0,3]的最大值小于等于4即可。

解:(1)求導(dǎo)得f’(x)=2(x-a)lnx+=()(2ln x+1-).(2分)

 因?yàn)閤=e是f(x)的極值點(diǎn),所以f’(e)= ,(3分)

解得 或,經(jīng)檢驗(yàn),符合題意,所以 或。(4分)

(2)解:①當(dāng)時(shí),對(duì)于任意的實(shí)數(shù)a,恒有成立,(6分)

    ②當(dāng),由題意,首先有,

     解得             (7分)

由(Ⅰ)知,,

,

 且

=。               (8分)

在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,所以函數(shù)在(0,+∞)內(nèi)有唯一零

點(diǎn),記此零點(diǎn)為,則,。從而,當(dāng)時(shí),;

當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,即內(nèi)

單調(diào)遞增,在內(nèi)單調(diào)遞減,在內(nèi)單調(diào)遞增。     (10分)

所以要使對(duì)恒成立,只要

        成立。

,知(3)

將(3)代入(1)得,                   (12分)

,注意到函數(shù)在[1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,故。

再由(3)以及函數(shù)2xlnx+x在(1.+ +∞)內(nèi)單調(diào)遞增,可得。

由(2)解得,。

所以

綜上,a的取值范圍為。                (14分)

 

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(2011•廣東模擬)(本小題滿分14分 已知函數(shù)f(x)=
3
sin2x+2sin(
π
4
+x)cos(
π
4
+x)

(I)化簡(jiǎn)f(x)的表達(dá)式,并求f(x)的最小正周期;
(II)當(dāng)x∈[0,
π
2
]  時(shí),求函數(shù)f(x)
的值域.

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(本小題滿分14分)設(shè)橢圓C1的方程為(ab>0),曲線C2的方程為y=,且曲線C1C2在第一象限內(nèi)只有一個(gè)公共點(diǎn)P。(1)試用a表示點(diǎn)P的坐標(biāo);(2)設(shè)A、B是橢圓C1的兩個(gè)焦點(diǎn),當(dāng)a變化時(shí),求△ABP的面積函數(shù)S(a)的值域;(3)記min{y1,y2,……,yn}為y1,y2,……,yn中最小的一個(gè)。設(shè)g(a)是以橢圓C1的半焦距為邊長(zhǎng)的正方形的面積,試求函數(shù)f(a)=min{g(a), S(a)}的表達(dá)式。

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(本小題滿分14分)
已知=2,點(diǎn)()在函數(shù)的圖像上,其中=.
(1)證明:數(shù)列}是等比數(shù)列;
(2)設(shè),求及數(shù)列{}的通項(xiàng)公式;
(3)記,求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和,并證明.

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 (本小題滿分14分)

某網(wǎng)店對(duì)一應(yīng)季商品過(guò)去20天的銷售價(jià)格及銷售量進(jìn)行了監(jiān)測(cè)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn),第天()的銷售價(jià)格(單位:元)為,第天的銷售量為,已知該商品成本為每件25元.

(Ⅰ)寫出銷售額關(guān)于第天的函數(shù)關(guān)系式;

(Ⅱ)求該商品第7天的利潤(rùn);

(Ⅲ)該商品第幾天的利潤(rùn)最大?并求出最大利潤(rùn).

 

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(本小題滿分14分)已知的圖像在點(diǎn)處的切線與直線平行.

⑴ 求,滿足的關(guān)系式;

⑵ 若上恒成立,求的取值范圍;

⑶ 證明:

 

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