Question

【題目】設(shè)數(shù)列對(duì)任意都有（其中、、是常數(shù)） .

（Ⅰ）當(dāng)，，時(shí)，求；

（Ⅱ）當(dāng)，，時(shí)，若，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（Ⅲ）若數(shù)列中任意（不同）兩項(xiàng)之和仍是該數(shù)列中的一項(xiàng)，則稱該數(shù)列是“封閉數(shù)列”.當(dāng)，，時(shí)，設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，，試問(wèn)：是否存在這樣的“封閉數(shù)列”，使得對(duì)任意，都有，且.若存在，求數(shù)列的首項(xiàng)的所有取值；若不存在，說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅱ）存在，

【解析】

（Ⅰ）當(dāng)，，時(shí)，由已知條件推導(dǎo)出，，由此得到數(shù)列是以首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，從而能求出；

（Ⅱ）當(dāng)，，，由已知條件推導(dǎo)出，從而得到數(shù)列是等差數(shù)列，由此求出；

（Ⅲ）由（Ⅱ）知數(shù)列是等差數(shù)列，，由此進(jìn)行驗(yàn)證，求出數(shù)列的首項(xiàng)的所有取值.

（Ⅰ）當(dāng)，，時(shí)，①，用去換

得②，②-①得，，即，

在①中令得，故是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，所以，

從而.

（Ⅱ）當(dāng)，，時(shí)，③，用去換得

④，④-③得，⑤，用

去換得⑥，⑥-⑤得，，即

，故是等差數(shù)列，因?yàn)?/span>，，所以公差，

故.

（Ⅲ）由（Ⅱ）知是等差數(shù)列，因，所以，假設(shè)存在這樣的“封閉數(shù)列”，

則對(duì)任意，必存在，使得，

所以，故為偶數(shù)，，又由已知，，

所以，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，

，所以

，

故