Question

給出函數(shù)（x∈R）
（1）當(dāng)t≤-1時(shí)，證明y=f（x）是單調(diào)遞減函數(shù)；
（2）當(dāng)時(shí)，可以將f（x）化成的形式，運(yùn)用基本不等式求f（x）的最小值及此時(shí)x的取值；
（3）設(shè)一元二次函數(shù)g（x）的圖象均在x軸上方，h（x）是一元一次函數(shù)，記，利用基本不等式研究函數(shù)F（x）的最值問(wèn)題．

Answer 1

解：（1）設(shè)x₁＜x₂，則
化成
顯然，當(dāng)x₁+x₂≤0時(shí)，f（x₁）-f（x₂）＞0
當(dāng)x₁+x₂＞0時(shí)，，即f（x₁）-f（x₂）＞0
所以y=f（x）是單調(diào)遞減函數(shù)；
（2）由題意得，解得，
∴
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，；
（3）由題意設(shè)g（x）=a（x-m）²+n，（a＞0，n＞0），h（x）=tx+b （t≠0），
所以．
若用x代換x-m，用代換t，則F（x）總能化成（r＞0）的形式．
由于及q均是常數(shù)，因而，只需研究（r＞0）的最值．
當(dāng)|t|≥1時(shí)，F(xiàn)（x）是單調(diào)函數(shù)，無(wú)最值．
當(dāng)|t|＜1時(shí)，

即，此時(shí)．
分析：（1）設(shè)x₁＜x₂，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值作差后化為，分x₁+x₂≤0和x₁+x₂＞0判斷查實(shí)的符號(hào)，從而得到結(jié)論；
（2）把代入，由題意得到關(guān)于a，b的二元一次方程組，求出a，b的值，然后直接利用基本不等式求最值；
（3）設(shè)出兩個(gè)函數(shù)g（x）和h（x）的解析式，得到F（x）后用x代換x-m，用代換t，則F（x）總能化成（r＞0）的形式，分|t|大于等于1及小于1討論最值情況．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，訓(xùn)練了利用基本不等式求函數(shù)的最值，考查了學(xué)生靈活處理和解決問(wèn)題的能力，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是有一定難度題目．