Question

【題目】已知函數(shù).

（1）確定函數(shù)在定義域上的單調(diào)性；

（2）若在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減（2）

【解析】試題分析：（1）函數(shù)的定義域為，對其求導(dǎo)得，令，再利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性得其最大值為0，即在定義域上恒成立，故可得的單調(diào)性；（2）可將題意整理為在上恒成立，令，分為， 和三種情形分別進行討論.

試題解析：（1）函數(shù)的定義域為， ，

令，則有，

令，解得，所以在上， ， 單調(diào)遞增，

在上， ， 單調(diào)遞減.

又，所以在定義域上恒成立，即在定義域上恒成立，

所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

（2）由在上恒成立得： 在上恒成立.

整理得： 在上恒成立.

令，易知，當時， 在上恒成立不可能，∴，

又， ，

當時， ，又在上單調(diào)遞減，所以在上恒成立，則在上單調(diào)遞減，又，所以在上恒成立.

當時， ， ，又在上單調(diào)遞減，所以存在，使得，

所以在上，在上，

所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

又，所以在上恒成立，

所以在上恒成立不可能.

綜上所述， .