Question

（本小題滿分14分）

        在數(shù)列和中，已知，其中且。

   （I）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和；

   （II）證明：當(dāng)時(shí)，數(shù)列中的任意三項(xiàng)都不能構(gòu)成等比數(shù)列；

   （III）設(shè)集合，試問在區(qū)間[1，a]上是否存在實(shí)數(shù)b使得，若存在，求出b的一切可能的取值及相應(yīng)的集合C；若不存在，說明理由。

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）略（3）b=1

【解析】（I）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052017383409373225/SYS201205201740308593315213_DA.files/image002.png">           …………1分

由

所以                                            …………3分

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052017383409373225/SYS201205201740308593315213_DA.files/image005.png">                                  …………4分

所以是等差數(shù)列，                              …………4分

所以數(shù)列…………5分

   （II）由已知

假設(shè)成等比數(shù)列，其中，且彼此不等，

則                          …………6分

[來源:Zxxk.Com]

可得矛盾。                                           …………7分

為無理數(shù)，

所以是整數(shù)矛盾。   …………9分

所以數(shù)列中的任意三項(xiàng)都不能構(gòu)成等比數(shù)列。

   （III）設(shè)存在實(shí)數(shù)，

所以整除。                                           …………10分

   （1）當(dāng)

所以                                                   …………11分

   （2）當(dāng)，

所以，當(dāng)且僅當(dāng)整除。            …………12分

   （3）當(dāng)時(shí) ，

整除。                                                 …………13分[來源:學(xué)*科*網(wǎng)]

綜上，在區(qū)間[1，a]上存在實(shí)數(shù)b，使成立，且當(dāng)b=1時(shí)，

       …………14分