Question

（2013•懷化三模）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}滿足a_n+1² =2a_n²+a_na_n+1，且a₂+a₄=2a₃+4，其中n∈N^*．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若c_n=

(n+1)2+1

n(n+1)an+2

，數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為S_n，其中n∈N^*，證明：

5

16

≤Sn＜

1

2

．

Answer 1

分析：（I）由數(shù)列{a_n}滿足a_n+1² =2a_n²+a_na_n+1，數(shù)列是正項(xiàng)數(shù)列，可得2a_n-a_n+1=0，進(jìn)而得到數(shù)列{a_n}是以2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）由數(shù)列c_n=

(n+1)2+1

n(n+1)an+2

為正項(xiàng)數(shù)列，故n=1時(shí)，S_n取最小值

5

16

，利用放縮法，求出S_n的最大值，可得答案．

解答：解：（Ⅰ）∵a² _n+1=2a²_n+a_na _n+1，
∴（a_n+1+a_n）（2a_n-a_n+1）=0
∵數(shù)列是正項(xiàng)數(shù)列，
∴a_n+1+a_n≠0，即2a_n-a_n+1=0
∴

an+1

an

=2
∵a₂+a₄=2a₃+4，
∴2a₁+8a₁=8a₁+4，
∴a₁=2
即數(shù)列{a_n}是以2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列
∴a_n=2×2^n-1=2ⁿ；
證明：（Ⅱ）c_n=

(n+1)2+1

n(n+1)an+2

=

(n+1)2+1

n(n+1)•2n+2

＞0
∴當(dāng)n=1時(shí)，S_n取最小值

5

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，
當(dāng)n≥2時(shí)，n²＞2，c_n=

(n+1)2+1

n(n+1)•2n+2

＜

1

2n+1

∴S_n＜

1 4

1- 1 2

=

1

2

故

5

16

≤Sn＜

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是數(shù)列的通項(xiàng)公式，數(shù)列求和，是數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用，綜合性強(qiáng)，運(yùn)算難度大，屬于難題．