Question

【題目】設橢圓 (a>b>0)的左焦點為F，上頂點為B. 已知橢圓的離心率為，點A的坐標為，且.

（I）求橢圓的方程；

（II）設直線l： 與橢圓在第一象限的交點為P，且l與直線AB交于點Q. 若 (O為原點) ，求k的值.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) 或

【解析】分析：（Ⅰ）由題意結合橢圓的性質可得a=3，b=2．則橢圓的方程為．

（Ⅱ）設點P的坐標為（x1，y1），點Q的坐標為（x2，y2）．由題意可得5y1=9y2．由方程組可得．由方程組可得．據此得到關于k的方程，解方程可得k的值為或

詳解：（Ⅰ）設橢圓的焦距為2c，由已知有，

又由a2=b2+c2，可得2a=3b．由已知可得， ， ，

由，可得ab=6，從而a=3，b=2．

所以，橢圓的方程為．

（Ⅱ）設點P的坐標為（x1，y1），點Q的坐標為（x2，y2）．

由已知有y1>y2>0，故．

又因為，而∠OAB=，故．

由，可得5y1=9y2．

由方程組消去x，可得．

易知直線AB的方程為x+y–2=0，

由方程組消去x，可得．

由5y1=9y2，可得5（k+1）=，

兩邊平方，整理得，

解得，或．

所以，k的值為或