設 x=0是函數(shù)f(x)=(x2+ax+b)ex(x∈R)的一個極值點.
(1)求 a與b的關系式(用a表示b),并求f(x)的單調區(qū)間;
(2)設 a>0,g(x)=-(a2-a+1)ex+2,問是否存在ξ1,ξ2∈[-2,2],使得|f(ξ1)-g(ξ2)|≤1成立?若存在,求 a的取值范圍;若不存在,說明理由.
【答案】
分析:(1)先求出其導函數(shù),把x=0直接代入導函數(shù)即可求出a與b的關系式b=-a;再求出其導函數(shù)f'(x)=[x
2+(a+2)x]e
x=x(x+a+2)e
x,以及導數(shù)為0的根0和-a-2,討論兩根的大小即可求出f(x)的單調區(qū)間;
(2)先由 a>0求出f(x)與g(x)在[-2,2]上的單調性以及值域,再利用在[-2,2]上,f
min(x)-g
max(x)=-a+(a
2-a+1)=(a-1)
2≥0,即可得a所滿足的不等式,解不等式即可求a的取值范圍.
解答:解:(1)f'(x)=[x
2+(a+2)x+a+b]e
x(2分)
由f'(0)=0,得b=-a(4分)
∴f(x)=(x
2+ax-a)e
xf'(x)=[x
2+(a+2)x]e
x=x(x+a+2)e
x.
令f'(x)=0,得x
1=0,x
2=-a-2
由于x=0是f(x)極值點,故x
1≠x
2,即a≠-2
當a<-2時,x
1<x
2,故f(x)的單調增區(qū)間是(-∞,0]和[-a-2,+∞),單調減區(qū)間是[0,-a-2](6分)
當a>-2時,x
1>x
2,故f(x)的單調增區(qū)間是(-∞,-a-2]和[0,+∞),單調減區(qū)間是[-a-2,0](8分)
(2)當a>0時,-a-2<-2,f(x)在[-2,0]上單調遞減,在[0,2]上單調遞增,
因此f(x)在[-2,2]上的值域為[f(0),max[f(-2),f(2)]]=[-a,(4+a)e
2](10分)
上單調遞減,
所以值域是[-(a
2-a+1)]e
4,-(a
2-a+1)](12分)
因為在[-2,2]上,f
min(x)-g
max(x)=-a+(a
2-a+1)=(a-1)
2≥0(13分)
所以,a只須滿足
,解得0<a≤2
即當a∈(0,2]時,存在ξ
1、ξ
2∈[-2,2]使得|f(ξ
1)-g(ξ
2)|≤1成立.(14分)
點評:本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的極值以及利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性.在利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性時,導函數(shù)為正對應的區(qū)間為原函數(shù)的增區(qū)間;導函數(shù)為負對應的區(qū)間為原函數(shù)的減區(qū)間.