Question

（2010•溫州二模）設(shè)x=-

1

3

是函數(shù)f（x）=x³+mx²+mx-2的一個(gè)極值點(diǎn)．
（1）求函數(shù)f（x）的極值；
（2）若方程

f(-a)+f(a)

2

f（x）=在區(qū)間[-a，a]（a＞0）上恰有兩個(gè)不同的實(shí)根，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求導(dǎo)函數(shù)，利用x=-

1

3

是函數(shù)f（x）=x³+mx²+mx-2的一個(gè)極值點(diǎn)，可得f′(-

1

3

)=

1

3

+

1

3

m=0，從而可求m的值
進(jìn)而可得函數(shù)的單調(diào)性，故可求f（x）的極大值與極小值；
（2）對(duì)參數(shù)a進(jìn)行分類討論：當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（x）在[-a，-

1

3

]上單調(diào)遞增，在[-

1

3

，a]上單調(diào)遞減，從而方程f(x)=

f(-a)+f(a)

2

在區(qū)間[-a，a]上不可能有兩個(gè)不同的根；當(dāng)a＞1時(shí)，f（x）在[-a，-

1

3

]上單調(diào)遞增，在[-

1

3

，1]上單調(diào)遞減，在[1，a]上單調(diào)遞增，從而方程f(x)=

f(-a)+f(a)

2

在區(qū)間[-a，a]上不可能有兩個(gè)不同的根；當(dāng)a=1時(shí)，f（x）在[-1，-

1

3

]上單調(diào)遞增，在[-

1

3

，1]上單調(diào)遞減，方程f(x)=

f(-1)+f(1)

2

=-3有兩個(gè)根，故得解．

解答：解：（1）f′（x）=3x²+2mx+m …（1分）
∵x=-

1

3

是函數(shù)f（x）=x³+mx²+mx-2的一個(gè)極值點(diǎn)，
∴f′(-

1

3

)=

1

3

+

1

3

m=0
∴m=-1      …（3分）
∴f（x）=x³-x²-x-2，f′（x）=3x²-2x-1=（3x+1）（x-1）

x	(-∞，- 1 3 )	- 1 3	(- 1 3 ，1)	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	遞增	極大值	遞減	極小值	遞增

∴f（x）有極大值f(-

1

3

)=-

49

27

，極小值f（1）=-3     …（5分）
（2）當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（x）在[-a，-

1

3

]上單調(diào)遞增，在[-

1

3

，a]上單調(diào)遞減
∵[f(a)-

f(-a)+f(a)

2

]×[f(-a)-

f(-a)+f(a)

2

]=-[

f(a)-f(-a)

2

]2 ＜0
∴

f(-a)+f(a)

2

在f（-a）與f（a）之間
∴方程f(x)=

f(-a)+f(a)

2

在區(qū)間[-a，a]上不可能有兩個(gè)不同的根．…（9分）
當(dāng)a＞1時(shí)，f（x）在[-a，-

1

3

]上單調(diào)遞增，在[-

1

3

，1]上單調(diào)遞減，在[1，a]上單調(diào)遞增
∴f（x）有極小值f（1）=-3
又∵

f(-a)+f(a)

2

=-a2-2＜-3=f(1)
∴方程f(x)=

f(-a)+f(a)

2

在區(qū)間[-a，a]上不可能有兩個(gè)不同的根．…（12分）
當(dāng)a=1時(shí)，f（x）在[-1，-

1

3

]上單調(diào)遞增，在[-

1

3

，1]上單調(diào)遞減
此時(shí)f（-1）=f（1）=-3
∴方程f(x)=

f(-1)+f(1)

2

=-3有兩個(gè)根為±1．…（14分）
綜上所述：a=1．…（15分）

點(diǎn)評(píng)：本題以函數(shù)為載體，考查函數(shù)的極值，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，解題的關(guān)鍵是正確分類，確定函數(shù)的單調(diào)性，從而研究方程根問題．