Question

已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，是和的等比中項(xiàng).
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.

Answer 1

（1）；（2）.

解析試題分析：（1）數(shù)列中可根據(jù)通項(xiàng)的特點(diǎn)選擇對(duì)應(yīng)的方法來(lái)求，反之也可根據(jù)，利用來(lái)再求，此題可先根據(jù)條件求出，然后就不難求了；（2）由（1）不難得到數(shù)列通項(xiàng)公式，根據(jù)通項(xiàng)公式的特點(diǎn)應(yīng)選擇用錯(cuò)位相減法來(lái)求數(shù)列前項(xiàng)和.特殊數(shù)列的求和方法通常有：①公式法；②分解法；③拆項(xiàng)相消法；④錯(cuò)位相減法；⑤奇偶分析法；⑥倒序相加法等等，關(guān)鍵是掌握根據(jù)通項(xiàng)所具有的特點(diǎn)來(lái)選擇對(duì)應(yīng)的求和方法，這份試卷中已經(jīng)考查了兩種特殊數(shù)列求和方法——拆項(xiàng)相消法和錯(cuò)位相減法，通常一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘得到的數(shù)列求前項(xiàng)的和時(shí)常用錯(cuò)位相減法，這個(gè)方法不難掌握，但要把題目做正確還是有一定難度的，故有“人人會(huì)做，人人都有可能做不對(duì)”一說(shuō)，所以要特別關(guān)注易錯(cuò)之處.
試題解析：（1）∵是公比為的等比數(shù)列，∴，
∴，從而，，
∵是和的等比中項(xiàng)，∴，解得或，
當(dāng)時(shí)，，不是等比數(shù)列，∴，∴，
當(dāng)時(shí)，，∵符合，∴；                （6分）
（2）∵,
∴          ①
①得：   ②
①②得：，
∴.                                                                （14分）
考點(diǎn)：1.等比數(shù)列通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式；2.等比中項(xiàng)；3.特殊數(shù)列求和方法之一：錯(cuò)位相減法.