Question

在長32cm，寬20cm的矩形薄鐵板的四角分別剪去一個(gè)相等的正方形，做成一個(gè)無蓋的盒子．問剪去的正方形邊長為多少時(shí)，盒子的容積最大，并求出最大容積．

Answer 1

分析：首先設(shè)出未知數(shù)：小正方形的邊長為x，可得盒子的容積為：V（x）=x（32-2x）（20-2x），然后利用導(dǎo)數(shù)工具研究它的單調(diào)性，得出當(dāng)x∈（0，4）時(shí)函數(shù)為增函數(shù)，當(dāng)x∈（4，10）函數(shù)為減函數(shù)．因此可得，當(dāng)x=4時(shí)盒子的容積最大，最大容積為1152cm²．

解答：解：設(shè)截去四個(gè)相相同的小正方形的邊長為x，則盒子的容積
為：V（x）=x（32-2x）（20-2x）=4x（16-x）（10-x）
V（x）=4（x³-26x²+160x）
∴V′（x）=4（3x²-52x+160）
令V′（x）=0即：3x²-52x+160=0
解得x=4或x=

40

3

∵0＜x＜10
∴x=

40

3

舍去，
當(dāng)x∈（0，4）時(shí)函數(shù)為增函數(shù)，當(dāng)x∈（4，10）函數(shù)為減函數(shù)
∴當(dāng)x=4時(shí)盒子的容積最大，最大容積為1152cm²．

點(diǎn)評(píng)：本題著重考查了函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，屬于中檔題．利用導(dǎo)數(shù)工具研究函數(shù)的單調(diào)性，從而得出函數(shù)的最大值，是解決本題的關(guān)鍵所在．