Question

11．已知直線l過點P（3，6）且與x，y軸的正半軸分別交于A、B兩點，O是坐標(biāo)原點，則當(dāng)|OA|+|OB|取得最小值時的直線方程是$\sqrt{2}$x+y-6-3$\sqrt{2}$=0（用一般式表示）

Answer 1

分析 由題意可得：直線的斜率k＜0，設(shè)直線方程為：kx-y+6-3k=0，可得B（0，6-3k），A（3-$\frac{6}{k}$，0），即可得到|OA|+|OB|，進(jìn)而利用基本不等式求出最值，并且得到k的取值得到直線的方程．

解答 解：由題意可得：設(shè)直線的斜率為k，
因為直線l與x軸的正半軸，y軸的正半軸分別交于A、B兩點，
所以得到k＜0．
則直線l的方程為：y-6=k（x-3），整理可得：kx-y+6-3k=0，
令x=0，得y=6-3k，所以B（0，6-3k）；
令y=0，得到x=3-$\frac{6}{k}$，所以A（3-$\frac{6}{k}$，0），
所以|OA|+|OB|=6-3k+3-$\frac{6}{k}$=9+（-3k）+（-$\frac{6}{k}$），
因為k＜0，則|OA|+|OB|=9+（-3k）+（-$\frac{6}{k}$）≥9+6$\sqrt{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)-3k=-$\frac{6}{k}$，即k=-$\sqrt{2}$時“=”成立，
所以直線l的方程為：$\sqrt{2}$x+y-6-3$\sqrt{2}$=0，
故答案為：$\sqrt{2}$x+y-6-3$\sqrt{2}$=0．

點評 解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握直線的點斜式方程，考查學(xué)生利用基本不等式求最小值，在利用基本不等式求最小值時應(yīng)該注意使用的條件：一正，二定，三相等，此題屬于中檔題．