【題目】極坐標(biāo)系中橢圓C的方程為ρ2= ,以極點為原點,極軸為x軸非負(fù)半軸,建立平面直角坐標(biāo)系,且兩坐標(biāo)系取相同的單位長度.
(1)若橢圓上任一點坐標(biāo)為P(x,y),求 的取值范圍;
(2)若橢圓的兩條弦AB,CD交于點Q,且直線AB與CD的傾斜角互補,求證:|QA||QB|=|QC||QD|.

【答案】
(1)解:∵橢圓C的方程為ρ2= ,

∴橢圓C的直角坐標(biāo)方程為 ,

設(shè) ,

=

的取值范圍是[1﹣ ]


(2)證明:設(shè)直線AB的傾斜角為α,直線CD的傾斜角為π﹣α,Q(x0,y0),

則直線AB的參數(shù)方程為 ,(t為參數(shù)),

代入x2+2y2=2,得:(x0+tcosα)2+2(y0+tsinα)2﹣2=0,

即(cos2α+2sin2α)t2+(2x0cosα+4y0sinα)t+( ﹣2)=0,

設(shè)A、B對應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2,

則|QA||QB|=|t1t2|=| |,

同理,|QC||QB|=| |=| |,

∴|QA||QB|=|QC||QD|


【解析】(1)由橢圓C的極坐標(biāo)方程能橢圓C的直角坐標(biāo)方程,設(shè) ,由三角函數(shù)性質(zhì)能求出 的取值范圍.(2)設(shè)直線AB的傾斜角為α,直線CD的傾斜角為π﹣α,Q(x0 , y0),直線AB的參數(shù)方程為 ,(t為參數(shù)),代入x2+2y2=2,得:(x0+tcosα)2+2(y0+tsinα)2﹣2=0,推導(dǎo)出|QA||QB|=|t1t2|=| |,同理,|QC||QB|=| |=| |,由此能證明|QA||QB|=|QC||QD|.

練習(xí)冊系列答案
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甲流水線樣本的頻數(shù)分布表

產(chǎn)品重量(克)

頻數(shù)

[490,495)

6

[495,500)

8

[500,505)

14

[505,510)

8

[510,515]

4

乙流水線樣本的頻率分布直方圖

(1)求甲流水線樣本合格的頻率;

(2)由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)完成下面2×2列聯(lián)表,并回答有多大的把握認(rèn)為產(chǎn)品的包裝質(zhì)量與兩條自動包裝流水線的選擇有關(guān).

分類

甲流水線

乙流水線

總計

合格品

不合格品

總計

附:K2.

P(K2≥k0)

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

k0

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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A.
B.
C.
D.

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