【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=x2+aln(x+1),a∈R.
(Ⅰ)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(Ⅱ)若函數(shù)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1 , x2 , 且x1<x2 , 求證:f(x2)≥( ﹣1)x2 .
【答案】解:(Ⅰ)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋ī?,+∞), f′(x)=2x+ = ,
令g(x)=2x2+2x+a,則△=4﹣8a,
①當(dāng)a≥ 時(shí),△≤0,g(x)≥0,從而f′(x)≥0,
故函數(shù)f(x)在(﹣1,+∞)上單調(diào)遞增;
②當(dāng)a< 時(shí),△>0,g(x)=0的兩個(gè)根為
x1= ,x2= ,
當(dāng)a≤0時(shí),x1≤﹣1<x2 , 此時(shí),當(dāng)x∈(﹣1, ),函數(shù)f(x)單調(diào)遞減;
當(dāng)x∈( ,+∞),函數(shù)f(x)單調(diào)遞增.
當(dāng)0<a< 時(shí),﹣1<x1<x2 , 此時(shí)函數(shù)f(x)在區(qū)間(﹣1, ),( ,+∞)單調(diào)遞增;
當(dāng)x∈( , )函數(shù)f(x)單調(diào)遞減.
綜上:當(dāng)a≥ 時(shí),函數(shù)f(x)在(﹣1,+∞)上單調(diào)遞增;
當(dāng)0<a< 時(shí),函數(shù)f(x)在區(qū)間(﹣1, ),( ,+∞)單調(diào)遞增;
在區(qū)間( , ),函數(shù)f(x)單調(diào)遞減;
當(dāng)a≤0時(shí),x∈(﹣1, )函數(shù)f(x)單調(diào)遞減,
x∈( ,+∞)函數(shù)f(x)單調(diào)遞增…(6分)
(Ⅱ)證明:當(dāng)函數(shù)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)時(shí),0<a< ,x2= ∈(﹣ ,0),
且g(x2)=2 +2x2+a=0,即a=﹣2 ﹣2x2 ,
f(x2)= +(﹣2 ﹣2x2)ln(x2+1),x2∈(﹣ ,0),
=x2﹣2(x2+1)ln(x2+1),x2∈(﹣ ,0),
令h(x)=x﹣2(x+1)ln(x+1),x∈(﹣ ,0),
h′(x)=﹣2ln(x+1)﹣1,令h′(x)>0,x∈(﹣ , ﹣1),函數(shù)單調(diào)遞增;
令h′(x)<0,x∈( ﹣1,0),函數(shù)單調(diào)遞減;
∴h(x)max=h( ﹣1)= ﹣1,∴ ≤ ﹣1,
∵x2∈(﹣ ,0),
∴f(x2)≥( ﹣1)x2 .
【解析】(Ⅰ)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),通過(guò)討論a的范圍,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可;(Ⅱ)得到a=﹣2 ﹣2x2 , 根據(jù)f(x2)= +(﹣2 ﹣2x2)ln(x2+1),x2∈(﹣ ,0),得到 =x2﹣2(x2+1)ln(x2+1),x2∈(﹣ ,0),令h(x)=x﹣2(x+1)ln(x+1),x∈(﹣ ,0),根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出h(x)的最大值,從而證明結(jié)論.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個(gè)區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減;求函數(shù)的極值的方法是:(1)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值(2)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值才能正確解答此題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知定義在R上的函數(shù)f(x)=x2+|x﹣m|(m為實(shí)數(shù))是偶函數(shù),記a=f(log e),b=f(log3π),c=f(em)(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),則a,b,c的大小關(guān)系( )
A.a<b<c
B.a<c<b
C.c<a<b
D.c<b<a
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,動(dòng)圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(0,t﹣2),N(0,t+2),P(﹣2,0).其中t∈R.
(1)求動(dòng)圓圓心E的軌跡方程;
(2)過(guò)點(diǎn)P作直線l交軌跡E于不同的兩點(diǎn)A,B,直線OA與直線OB分別交直線x=2于兩點(diǎn)C,D,記△ACD與△BCD的面積分別為S1 , S2 . 求S1+S2的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】對(duì)于函數(shù),如果存在實(shí)數(shù)使得,那么稱為的線性函數(shù).
(1)下面給出兩組函數(shù),判斷是否分別為的線性函數(shù)?并說(shuō)明理由;
第一組:
第二組::
(2)設(shè),線性函數(shù)為.若等式在上有解,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)設(shè),取.線性函數(shù)圖像的最低點(diǎn)為.若對(duì)于任意正實(shí)數(shù)且.試問(wèn)是否存在最大的常數(shù),使恒成立?如果存在,求出這個(gè)的值;如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在△ABC中,a,b,c分別是角A,B,C的對(duì)邊,a,b,c成等比數(shù)列,且a2﹣c2=ac﹣bc.
(Ⅰ)求∠A的大小;
(Ⅱ)若a= ,且sinA+sin(B﹣C)=2sin2C,求△ABC的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】給出下列命題:
①存在實(shí)數(shù)α使 .
②直線 是函數(shù)y=sinx圖象的一條對(duì)稱軸.
③y=cos(cosx)(x∈R)的值域是[cos1,1].
④若α,β都是第一象限角,且α>β,則tanα>tanβ.
其中正確命題的題號(hào)為( )
A.①②
B.②③
C.③④
D.①④
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在△ABC中,a,b,c分別是角A,B,C的對(duì)邊,且8sin2 .
(1)求角A的大;
(2)若a= ,b+c=3,求b和c的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)= x2﹣ax+(3﹣a)lnx,a∈R.
(1)若曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與直線2x﹣y+1=0垂直,求a的值;
(2)設(shè)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1 , x2 , 且x1<x2 , 求證:f(x1)+f(x2)>﹣5.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某縣共有戶籍人口60萬(wàn)人,該縣60歲以上、百歲以下的人口占比13.8%,百歲及以上的老人15人.現(xiàn)從該縣60歲及以上、百歲以下的老人中隨機(jī)抽取230人,得到如下頻數(shù)分布表:
年齡段(歲) | [60,70) | [70,80) | [80,90) | [90,99) |
人數(shù)(人) | 125 | 75 | 25 | 5 |
(1)從樣本中70歲及以上老人中采用分層抽樣的方法抽取21人進(jìn)一步了解他們的生活狀況,則80歲及以上老人應(yīng)抽多少人?
(2)從(1)中所抽取的80歲及以上的老人中,再隨機(jī)抽取2人,求抽到90歲及以上老人的概率;
(3)該縣按省委辦公廳、省人民政府辦公廳《關(guān)于加強(qiáng)新時(shí)期老年人優(yōu)待服務(wù)工作的意見(jiàn)》精神,制定如下老年人生活補(bǔ)貼措施,由省、市、縣三級(jí)財(cái)政分級(jí)撥款. ①本縣戶籍60歲及以上居民,按城鄉(xiāng)居民養(yǎng)老保險(xiǎn)實(shí)施辦法每月領(lǐng)取55元基本養(yǎng)老金;
②本縣戶籍80歲及以上老年人額外享受高齡老人生活補(bǔ)貼.
(a)百歲及以上老年人,每人每月發(fā)放345元生活補(bǔ)貼;
(b)90歲及以上、百歲以下老年人,每人每月發(fā)放200元的生活補(bǔ)貼;
(c)80歲及以上、90歲以下老年人,每人每月發(fā)放100元的生活補(bǔ)貼.
試估計(jì)政府執(zhí)行此項(xiàng)補(bǔ)貼措施的年度預(yù)算.
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