如圖，橢圓上頂點(diǎn)為A，Q為x軸正半軸上一點(diǎn)，P為橢圓上異于A的一點(diǎn)，且．
（1）若的值；
（2）若過A、Q、F三點(diǎn)的圓恰好與直線+3=0相切，求橢圓方程．

【答案】分析：（1）由橢圓離心率可知b=c，進(jìn)而根據(jù)．得AQ⊥AF，所以得到直線AQ的斜率，進(jìn)而求得Q的坐標(biāo)，最后利用向量的坐標(biāo)表示進(jìn)而可得答案．
（2）依題意可設(shè)QF的中點(diǎn)為M，則M（c，0），，從而過A，Q、F三點(diǎn)的橢圓的圓心M（c，0）半徑為，又因此圓與l的相切，相切可知圓心到直線的距離等于半徑，建立等式可求得c，進(jìn)而求得a和b．橢圓的方程可得．
解答：解：（1）令
由橢圓離心率，…（1分）
則題意知A（0，b），F(xiàn)（-c，0），所以直線AF的斜率為，
由．得AQ⊥AF，所以直線AQ的斜率為
設(shè)Q
所以…（3分）
又設(shè)
由，
得，…（5分）
點(diǎn)P，
將a=2c，b=代入上式，可得λ=0（舍）或，
所以．
（2）設(shè)QF的中點(diǎn)為M，則M（c，0），，…（9分）
所以過A，Q、F三點(diǎn)的橢圓的圓心M（c，0）半徑為…（9分）
又因此圓與l的相切，所以，
解得c=1，所以，
橢圓方程…（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓的應(yīng)用．注意圓錐曲線之間相交和相切的關(guān)系，根據(jù)這些關(guān)系找到解決問題的途徑．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)上頂點(diǎn)為A，Q為x軸正半軸上一點(diǎn)，P為橢圓上異于A的一點(diǎn)，且
AF
•
AQ
=0．
（1）若
AP
=λ
AQ
，求λ的值；
（2）若過A、Q、F三點(diǎn)的圓恰好與直線l：x+
3
y+3=0相切，求橢圓方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•重慶）如圖，設(shè)橢圓的中心為原點(diǎn)O，長軸在x軸上，上頂點(diǎn)為A，左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，線段OF1，OF2的中點(diǎn)分別為B1，B2，且△AB1B2是面積為4的直角三角形．
（Ⅰ）求該橢圓的離心率和標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）過B1做直線l交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，使PB2⊥QB2，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知橢圓C：
x2
a2
+y2=1（a＞1）的上頂點(diǎn)為A，離心率為
6
3
，若不過點(diǎn)A的動(dòng)直線l與橢圓C相交于P、Q兩點(diǎn)，且
AP
•
AQ
=0．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）求證：直線l過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)N的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，其上頂點(diǎn)為A．已知△F1AF2是邊長為2的正三角形．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)Q（-4，0）任作一動(dòng)直線l交橢圓C于M，N兩點(diǎn)，記
MQ
=-λ•
QN
若在線段MN上取一點(diǎn)R，使得
MR
=λ•
RN
，試判斷當(dāng)直線l運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)R是否在某一定直線上運(yùn)動(dòng)？若在，請(qǐng)求出該定直線的方程；若不在，請(qǐng)說明理由．

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