Question

如圖，已知橢圓C：

x2

a2

+y²=1（a＞1）的上頂點為A，離心率為

6

3

，若不過點A的動直線l與橢圓C相交于P、Q兩點，且

AP

•

AQ

=0．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）求證：直線l過定點，并求出該定點N的坐標．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由橢圓的解析式得到b=1，再利用橢圓的性質(zhì)a²+b²=c²列出關(guān)系式，與e=

c

a

=

6

3

聯(lián)立組成方程組，求出方程組的解得到a與c的值，即可確定出橢圓的解析式；
（Ⅱ）由

AP

•

AQ

=0，利用平面斜率數(shù)量積為0時兩向量垂直得到AP與AQ垂直，可得出AP與坐標軸不垂直，由A的坐標設(shè)出直線AP的方程為y=kx+1，根據(jù)兩直線垂直時斜率的乘積為-1表示出直線AQ的方程，將y=kx+1代入橢圓方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，求出方程的解得到x的值，表示出P的坐標，將直線AQ方程代入橢圓方程，同理表示出Q的坐標，由P與Q的坐標，表示出直線l的兩點式方程，整理后可得出直線l恒過定點N（0，-

1

2

）．

解答：解（Ⅰ）依題意有：e=

c

a

=

6

3

①，a²-c²=b²=1②，
聯(lián)立①②解得：a=

3

，c=

2

，
則橢圓C的方程為

x2

3

+y²=1；
（Ⅱ）證明：由

AP

•

AQ

=0，得到AP⊥AQ，從而直線AP與坐標軸不垂直，
由A（0，1）可設(shè)直線AP的方程為y=kx+1，得到直線AQ的方程為y=-

1

k

x+1（k≠0），
將y=kx+1代入橢圓C的方程

x2

3

+y²=1中，并整理得：（1+3k²）x²+6kx=0，
解得：x=0或x=-

6k

1+3k2

，
∴P的坐標為（-

6k

1+3k2

，-

6k2

1+3k2

+1），即（-

6k

1+3k2

，

1-3k2

1+3k2

），
將上式中的k換成-

1

k

，同理可得Q（

6k

k2+3

，

k2-3

k2+3

），
∴直線l的方程為y=

k2-3 k2+3 - 1-3k2 1+3k2

6k k2+3 + 6k 1+3k2

（x-

6k

k2+3

）+

k2-3

k2+3

，
整理得：直線l的方程為y=

k2-1

4k

x-

1

2

，
則直線l過定點N（0，-

1

2

）．

點評：此題考查了恒過定點的方程，以及橢圓的標準方程，涉及的知識有：橢圓的基本性質(zhì)，平面向量的數(shù)量積運算，以及直線的兩點式方程，其計算性較大，是一道綜合性較強的試題．