Question

已知函數(shù)f（x）=lg

2x

ax+2-a

．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）a=1時，若關(guān)于x的方程f（x）=lg（m+x）解集為空集，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì),函數(shù)的定義域及其求法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）若使函數(shù)f（x）=lg

2x

ax+2-a

的解析式有意義，自變量x須滿足：

2x

ax+2-a

＞0，對a進(jìn)行分類討論，可得函數(shù)f（x）的定義域；
（2）a=1時，若關(guān)于x的方程f（x）=lg（m+x）解集為空集，則方程

2x

x+1

=m+x在區(qū)間（-∞，-1）∪（0，+∞）無解，即方程x²+（m-1）x+m=0在區(qū)間（-∞，-1）∪（0，+∞）無解，則方程x²+（m-1）x+m=0無解，或方程x²+（m-1）x+m=0的在均在[-1，0]上，進(jìn)而可得實數(shù)m的取值范圍．

解答： 解：（1）若使函數(shù)f（x）=lg

2x

ax+2-a

的解析式有意義，
自變量x須滿足：

2x

ax+2-a

＞0，
當(dāng)a＜0時，解得：0＜x＜

a-2

a

，
當(dāng)a=0時，解得：x＞0；
當(dāng)0＜a＜2時，解得：x＜

a-2

a

，或x＞0；
當(dāng)a=2時，

2x

ax+2-a

=1＞0恒成立；
當(dāng)a＞2時，解得：x＜0，或x＞

a-2

a

，
故當(dāng)a＜0時，函數(shù)f（x）的定義域為（0，

a-2

a

）；
當(dāng)a=0時，函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞）；
當(dāng)0＜a＜2時，函數(shù)f（x）的定義域為（-∞，

a-2

a

）∪（0，+∞）；
當(dāng)a=2時，函數(shù)f（x）的定義域為R；
當(dāng)a＞2時，函數(shù)f（x）的定義域為（-∞，0）∪（

a-2

a

，+∞）；
（2）當(dāng)a=1時，f（x）=lg

2x

x+1

．函數(shù)f（x）的定義域為（-∞，-1）∪（0，+∞）
若方程f（x）=lg（m+x）解集為空集，
則方程

2x

x+1

=m+x在區(qū)間（-∞，-1）∪（0，+∞）無解，
即方程x²+（m-1）x+m=0在區(qū)間（-∞，-1）∪（0，+∞）無解，
則方程x²+（m-1）x+m=0無解，或方程x²+（m-1）x+m=0的在均在[-1，0]上，
即△=（m-1）²-4m＜0或

△＞0 g(-1)≥0 g(0)≥0 -1≤ 1-m 2 ≤0

，
解得：3-2

2

＜m＜3+2

2

，
故實數(shù)m的取值范圍為（3-2

2

，3+2

2

）

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，函數(shù)的定義域及其求法，難度中檔．