Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=2n-a_n（n∈N⁺）．
（1）計(jì)算數(shù)列{a_n}的前4項(xiàng)；
（2）猜想數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法,歸納推理

專題：綜合題,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）取n=1，2，3，分別求出a₁，a₂，a₃，然后仔細(xì)觀察，總結(jié)規(guī)律，猜測(cè)a_n的值．
（2）用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明，①當(dāng)n=1時(shí)，命題成立；②假設(shè)n=k時(shí)，命題成立，即a_k=

2k-1

2k-1

，當(dāng)n=k+1時(shí)，由S_k+1=2（k+1）-a_k+1，得S_k+1-a_k+1=2（k+1）-2a_k+1，可得當(dāng)n=k+1時(shí)，命題成立，故a_n=

2n-1

2n-1

都成立．

解答： 解：（1）計(jì)算得：a₁=1，a₂=

3

2

，a₃=

7

4

，a₄=

15

8

，猜想a_n=

2n-1

2n-1

；
（2）①n=1時(shí)，成立；
②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)成立，即a_k=

2k-1

2k-1

，
則當(dāng)n=k+1時(shí)，由S_k+1=2（k+1）-a_k+1，得S_k+1-a_k+1=2（k+1）-2a_k+1，
∴S_k=2（k+1）-2a_k+1，
∴2k-a_k=2（k+1）-2a_k+1，
∴a_k+1=

2k+1-1

2k

．
這就是說，當(dāng)n=k+1時(shí)，等式也成立．
由①②可知a_n=

2n-1

2n-1

對(duì)n∈N₊均成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的遞推式，解題時(shí)注意數(shù)學(xué)歸納法的證明過程．